Here be a line, if not the image is missing
 

Funktiokäsite

Aloitussivu

Funktio on matematiikan tärkeimpiä käsitteitä. Yksinkertaisin funktiotyyppi liittää reaalilukuun x toisen reaaliluvun y. Liittäminen ilmaistaan lausekkeella, jossa y lausutaan x:n avulla, esimerkiksi y = x + sin(x). Tällainen funktio voidaan esittää xy-tasoon piirretyllä kuvaajalla, joka muodostuu pisteistä (x,y), missä x saa kaikki arvot funktion määrittelyjoukosta.

Funktiot voivat kuitenkin olla paljon monimutkaisemmin määriteltyjä. Lukujen x ja y välinen riippuvuus voi perustua integraalilausekkeeseen, se voi syntyä differentiaaliyhtälön ratkaisusta jne. Esimerkiksi fysiikassa esiintyy paljon tällä tavoin määriteltyjä funktioita.

Funktion käsite on kuitenkin vielä yleisempi. Funktion f : A → B lähtöjoukko A ja maalijoukko B voivat olla mitä tahansa joukkoja, ja joukkoon A kuuluvan alkion x kuva y voidaan määritellä millä tahansa yksikäsitteisellä tavalla, ei mitenkään välttämättä lausekkeella.

M Funktiokäsitteen määrittely
M Esimerkkejä funktioista
M Reaalifunktion käsite, alkeisfunktiot

 

Kahdesta funktiosta voidaan muodostaa uusi funktio yhdistämällä ne. Jos jokaista funktion arvoa y vastaa täsmälleen yksi x, funktiolla on käänteisfunktio.

M Yhdistetty funktio
M Surjektio, injektio, bijektio
M Käänteisfunktio

Esimerkkejä

  1. Olkoot annettiuna joukko Kääpiöt, joka sisältää Lumikin seitsemän kääpiötä, Kääpiöt = {Viisas, Jörö, Lystikäs, Unelias, Ujo, Nuhanenä, Vilkas} sekä luonnollisten lukujen joukko ℕ . Voidaan muodostaa kuvaus eli funktio kääpiöiden ja luonnollisten lukujen välille esimerkiksi liittämällä jokaiseen kääpiöön sen nimen kirjainten lukumäärän. (Merkitään kuvausta vaikka abc : K ¨a¨api¨ot → ℕ .) Esimerkiksi kääpiöön Ujo kuvaus liittää luvun kolme: abc(Ujo) = 3 . Kuvaus ei kuitenkaan ole injektio sillä abc(Viisas) = abc(Vilkas) . Kuvaus ei ole surjektiokaan, sillä kuvaus ei liitä kaikkia luonnollisia lukuja kääpiöihin. Jos rajoitamme maalijoukon joukoksi A = {3,4,6,7,8} , niin saamme kuvauksesta abc : K ¨a¨api¨ot → A surjektion.

  2. Muodostetaan yhdistettyjä kuvauksia funktioilla f (x) = x2 − x ja g(x) = 3x + 2 .
    Valitaan f(x) ulkofunktioksi ja g(x) sisäfunktioksi, eli sijoitetaan g(x) ulkofunktion muuttujan paikalle.
    f (g(x)) = g(x)2 − g(x) = (3x + 2)2 − (3x + 2 ) = 9x2 + 9x + 2

    Muodostetaan vastaavasti myös pari muuta yhdistettya kuvausta.

    g(g(x)) = 3 ⋅ (3x + 2 ) + 2 = 9x + 8

    g (f(x)) = 3 ⋅ (x2 − x ) + 2 = 3x2 − 3x + 2


  3. Olkoon f : ℝ → ℝ , f (x) = 2x + 1 .
    Kuvaus on surjektio. Jos valitaan mielivaltainen alkio y ∈ ℝ, sille pätee:
    y = 2x + 1 ⇔ y∕2 = x + 1∕2 ⇔ y∕2 − 1∕2 = x.

    Riippumatta siitä minkä y :n maalijoukosta valitsee tälläinen x ∈ ℝ löytyy aina.
    Kuvaus on myös injektio. Valitaan mielivaltaiset a,b ∈ ℝ, a ⁄= b , niille pätee:

    a ⁄= b ⇒ 2a ⁄= 2b ⇒ 2a + 1 ⁄= 2b + 1 ⇒ f(a) ⁄= f (b)

    Injektiivisyyden voi todistaa myös lähtemällä oletuksesta f(x1) = f(x2 ) ja päätymällä lopputulokseen x1 = x2 .
    Koska kuvaus on injektio sekä surjektio, se on bijektio.

  4. Tarkastellaan edellisen esimerkin käänteiskuvaajaa. Tämä on mahdollista, koska f(x) on bijektio. Funktio f (x ) saa pisteessa x arvon y , eli tarvitsee selvittää milloin f −1(y) saa arvon x .
    y − 1 y = 2x + 1 ⇔ y − 1 = 2x ⇔ ------= x 2

    Funktion käänteiskuvaus on f −1(x) = x−21 .

  5. Olkoon ℕ0 = {0,1, 2,3,...} ja ℕ0 × ℕ0 = { (n, m )|n ∈ ℕ0, m ∈ ℕ0} . Kuvaus 1 2 2 f : ℕ0 → ℕ0 × ℕ0, f(n,m ) = 2 (n + m + 2nm + n + 3m ) on bijektio, joka kuvaa luonnolisista luvuista muodostettuja lukupareja luonnollisille luvuille.
    n ∖m |0 1 2 3 ... -------|------------------- 0 |0 2 5 9 ... 1 |1 4 8 13 ... 2 |3 7 12 18 ... 3 |6 11 17 24 ... . |. . . . . .. |.. .. .. .. ..
 

Harjoitustehtäviä

  
 

  1. Muodosta f (g(x)) , g(f (x )) ja g(g(x)) , kun

    1.   f(x ) = √x-ja g(x) = 2x2 + 1

    2.    3 f(x ) = sin x ja g(x) = 7x

    3.   f(x ) = |x| ja g(x ) = cosx + 1

    4.   f(x ) = x2 ja g(x) = 2x + 3

    5.    √------- f(x ) = x2 + 1 ja g(x) = x2 + 1

  2. Onko funktio f(x) injektio, surjektio tai bijektio? Muodosta myös käänteiskuvaus, jos mahdollista.

    1.    ] π π[ f : − 2 ,2 → ℝ, f (x) = tanx

    2.   f : ℝ+ → ℝ, f(x) = x3

    3.   f : ℝ → ℝ+, f(x) = ex

    4.   f : ℝ → ℝ, f (x) = sin (x )

Tehtävien vastaukset:

  1. tehtävä
  2. tehtävä