Pikku-M: Funktion ominaisuudet

Here be a line, if not the image is missing

Funktion ominaisuudet

Derivaatan yksinkertaisimpia sovelluksia on funktion kulun tutkiminen: kasvavuus ja vähenevys, paikalliset ääriarvot, absoluuttiset suurimmat ja pienimmät arvot jossakin joukossa.

Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot
Ääriarvon laadun tutkiminen
Absoluuttinen maksimi ja minimi

Jos funktio f on kaikkialla derivoituva, sen derivaatat f'(x) kaikissa pisteissä x muodostavat uuden funktion f', joka mahdollisesti on edelleen derivoituva. Tällöin saadaan alkuperäisen funktion f toinen derivaatta f''. Tämäkin kertoo jotakin funktion ominaisuuksista: kuvaajan kuperuudesta ja kuperuuden vaihtumiskohdista, käännepisteistä.

Korkeammat derivaatat
Käyrän kuperuus
Käännepiste

Esimerkkejä

Selvitetään milloin funktio $f(x) = − 7x3 + 4x2$ on kasvava tarkastelemalla sen derivaatan merkkiä.

D (− 7x3 + 4x2) = − 21x2 + 8x

' f (x) = 0 x(− 21x + 8) = 0 8 x = 0 tai x = --- 21

Funktio on kasvava, kun sen derivaattafunktio saa positiivisia arvoja.

0 8∕21 |--'----------2------|-------------|-----------|---------------| |f-(x)-=-−-21x--+-8x-|-----−-------|----+------|-------−-------| --f(x)-=-−-7x3-+-4x2----v¨ahenee-------kasvaa--------v-¨ahenee---|

Funktio on siis kasvava välillä $-8 [0,21]$ .

Tutkitaan funktion $f (x )$ ääriarvoja, kun

f(x ) = |x|, − 2 < x ≤ 2.

Funktiolla ei ole derivaatan nollakohtaa, sillä

{ − 1, − 2 < x < 0 f '(x) = . 1, 0 < x ≤ 2

Ääriarvoja siis voi löytyä derivaatan epäjatkuvuuskohdasta $f(0)$ sekä välin päätepisteestä $f(2)$ , jos $f(2) ≥ limx→ −2+ f(x)$ . Funktio saa pienimmän arvonsa kohdassa $f(0) = 0$ sekä suurimman arvonsa kohdassa $f (2) = 2$ , jos $f(x)$ olisi määritelty välillä $− 2 ≤ x ≤ 2$ saisi se suurimman arvonsa kohdissa $x = ±2$ . kuvaaja

Tutkitaan funktion $f (x )$ ääriarvoja, kun

( { x + 3, x ≤ 0 f(x) = − x3 . ( ----+ 4, x > 0 16

Funktiolla ei ole derivaatan nollakohtaa, sillä

( ' { 1, x < 0 f (x) = −-3x2- . ( 16 , x > 0

Funktion epäjatkuvuuskohdassakaan funktio ei saa suurinta arvoaan, sillä $f(0) = 3$ ja $f(1) = 3,5 > f(0)$ .
Funktio ei saa myöskään pienintä arvoa, koska

xl→im− ∞ f(x) = − ∞ = lxi→m∞ f(x).

Funktiolla on suurin yläraja $sup f(x) = 4$ .
kuvaaja

Tutkitaan polynomifunktion $f (x)$ luonnetta, kun

f(x) = x3 + 3x2 − 9x + 5, − 5 ≤ x < 4.

Funktio on jatkuva ja derivoituva. Ääriarvoja voidaan löytää funktion derivaatan nollakohdista tai välin päätepisteestä $f(− 5)$ .

{ f '(x) = 3x2 + 6x − 9 = 0 ⇐ ⇒ x = 1 − 3 f (− 5) = 0, lxi→m4− f(x) = 81 '' f (x ) = 6x + 6 f ''(1 ) = 12 > 0, f''(− 3) = − 12 < 0.

Funktiolla on siis lokaalit minimit kohdassa $f(1) = 0$ ja $f(− 5) = 0$ ja koska funktio ei saa pienempiä arvoja, ovat ne samalla globaalit minimit. Funktiolla on lokaali maksimi kohdassa $f(− 3) = 32$ . Funktiolla ei ole kuitenkaan globaalia maksimia, sillä

lim f(x) = 81 > 32 = f(− 3). x→4−

Funktiolla on käännepiste, kun $f''(x) = 0$ ja $f''(x)$ vaihtaa merkkiä tuon pisteen ympäristössä. Jos $f (3)(x) ⁄= 0$ tuossa pisteessä, niin kyseinen piste on varmasti funktion käännepiste.

'' f (x) = 0 ⇐ ⇒ x = − 1 f(3)(x ) = 6.

Funktiolla on siis käännekohta kohdassa $x = − 1$ , sillä $f''(− 1) = 0$ ja $(3) f (− 1) = 6 ⁄= 0$ . kuvaaja

ääriarvojen tutkimista voidaan soveltaa esimerkiksi geometrisiin ongelmiin.

Esimerkki 1 maksimin ja minimin laskemisesta

Harjoitustehtäviä

Määritä funktion $f(x ) = x + √4-−-x2-$ suurin ja pienin arvo.
Millä $x$ :n arvoilla funktio $f (x) = x5(2x − 3)4$ on aidosti kasvava?
Osoita, että yhtälöllä $3 x + 3x − 10 = 0$ on täsmälleen yksi reaalinen ratkaisu.
Määritä funktion $5- 2 f(x ) = 4 − cos (x) − sin(x)$ huipun koordinaatit, kun $0 ≤ x ≤ 2π$ .
Millä vakion $a$ arvoilla funktio $3 2 f(x) = x + ax + x + 2$ on kaikkialla kasvava?
Pallo heitetään suoraan ylöspäin 15 metriä korkean talon katolta nopeudella 22 m/s. Sen korkeus maan pinnalta metreinä saadaan silloin yhtälöstä , jossa on heitosta kulunut aika sekunteina.
1. Määritä Pallon nopeus ja kiihtyvyys, kun heitosta on kulunut yksi sekunti.
2. Alas tullessaan pallo ohittaa täpärästi katon ja putoaa maahan. Kuinka kauan pallo oli ilmassa?
Etsi funktion $f(x) = cosx$ käännepisteet ja niitä vastaavat tangenttisuorat.

Tehtävien vastaukset: