Sanna Ranto, LUKUTEORIA JA ALGEBRA Versio 1, 1.11.2003 | RYHMÄ |
Esimerkkejä ryhmistä
Esimerkki. Kokonaislukujen joukko muodostaa ryhmän, kun määritellään binäärioperaatioksi *
yhteenlasku +. Tarkistetaan väite käymällä lävitse ehdot (G0) - (G3). Kokonaislukujen
ominaisuuksien perusteella on selvää, että on suljettu operaation + suhteen ja että operaatio
+ on assosiatiivinen. Luku 0 on ryhmän ( , +) neutraalialkio e, sillä kaikilla
kokonaisluvuilla a :
Luvun a käänteisalkio a-1 on nyt -a, sillä kaikilla a
Nyt on näytetty, että ( , +) on ryhmä. Koska a*b = a + b = b + a = b*a kaikilla a,b , niin
todetaan vielä, että ( , +) on Abelin ryhmä.
Samoin voidaan todeta, että (rationaaliluvut), (reaaliluvut) ja (kompleksiluvut)
muodostavat Abelin ryhmät yhteenlaskun suhteen.
Esimerkki. Joukko * = \{0} on Abelin ryhmä kertolaskun . suhteen. Ehdot
(G0), (G1) ja (G4) ovat selviä. Ryhmän ( *, . ) neutraalialkio on 1, sillä kaikilla
a * :
Samoin todetaan, että alkion a * käänteisalkio on 1/a.
Samanlaisella päättelyllä voidaan osoittaa, että joukot \{0} ja \{0} ovat ryhmiä
kertolaskun suhteen.
Esimerkki. Nopeasti ajateltuna voi tuntua, että kaikki joukot muodostavat ryhmiä
luonnollisten operaatioiden suhteen. Näin ei kuitenkaan ole. Esimerkiksi joukko ei muodosta
ryhmää kertolaskun suhteen. Ryhmän vaatimuksista toteutuvat kaikki ehdot paitsi (G3).
Joukko on suljettu kertolaskun suhteen ja kertolasku on assosiatiivinen. Kaikilla luvuilla
a käy neutraalialkioksi luku 1. Joukon alkiot ovat jopa kommutatiivisia kertolaskun
suhteen. Ehdon (G3) toteutumiseksi pitäisi kaikilla alkioilla olla käänteisalkio. Luku 0 aiheuttaa
hankaluuksia, sillä 0 . a = 0 kaikilla a , ja täten luvulla 0 ei ole käänteisalkiota.
Käänteialkio on ongelmallinen muidenkin lukujen kuin 0 kanssa. Ehdosta a . a-1 = 1 seuraa,
että a-1 = , mutta ei ole joukon alkio, kun a 1. Siis muilla luvuilla kuin 1 ei ole
käänteisalkiota.
Edellisen perusteella ei myöskään \{0} muodosta ryhmää kertolaskun suhteen.
Mieti, mikseivät , ja ole ryhmiä kertolaskun suhteen.
Linkit:
Ryhmä
Ryhmän perusominaisuuksia
|