Sanna Ranto, LUKUTEORIA JA ALGEBRA
Versio 1, 1.11.2003 		RYHMÄ
 

Vasemmat sivuluokat

Määritelmä. Olkoon (H,*) < (G,*). Ryhmän (G,*) jokaiseen alkioon a liittyvää osajoukkoa

a * H = {a * h |h (- H}

sanotaan aliryhmän (H,*) vasemmaksi sivuluokaksi (coset) ryhmässä (G,*). Vastaavasti määritellään oikeat sivuluokat H * a.

Sekä vasen että oikea sivuluokka käyttäytyvät samalla tavalla. Täten riittää, että tarkastelemme vasempia sivuluokkia. Jos (G,*) on Abelin ryhmä on a * H = H * a kaikilla a (- G ja silloin määreet vasen ja oikea voidaan jättää pois.

Ehto

b ~ a jos ja vain jos b (- a *H

määrittelee ekvivalenssirelaation ryhmässä (G,*); tämä on helppo todeta käymällä läpi ekvivalenssirelaation ehdot. Tämän ekvivalenssirelaation määräämät ekvivalenssiluokat ovat muotoa

[a] = {b (- G |b (- a * H}= a *H,

siis ne ovat ryhmän (G,*) aliryhmän (H,*) vasemmat sivuluokat. Ekvivalenssiluokkien teorian perusteella aliryhmän (H,*) vasemmat sivuluokat ryhmässä (G,*) muodostavat joukon G partition. Siis

U G = (a * H), a (- D

missä a käy läpi jonkin vasempien sivuluokkien edustajiston D.

Huomaa, että joukko H on itse yksi sivuluokka, sillä H = e * H = H * e, missä e on ryhmän (G, *) neutraalialkio.

Määritelmä. Ryhmän (G,*) vasempien sivuluokkien lukumäärää sanotaan aliryhmän H indeksiksi ryhmässä G, sitä merkitään [G : H].

Indeksi voi olla myös ääretön.

Linkit:
Ekvivalenssirelaatio
Ekvivalenssiluokka