Tehtävissä on on tarkoitus opiskella lineaaristen yhtälöiden ratkaisemisen algoritmeja, jolloin menettelynä on kynän ja paperin käyttö, ellei toisin mainita. Erityisesti Mathematican DSolve-komentoa ei pidä käyttää paitsi enintään tarkistamistarkoituksessa.

Käsin laskettaessa saatetaan kuitenkin ajautua hankaliin integraaleihin, ehkä muihinkin raskaisiin mekaanisiin laskuihin. Näiden laskeminen Mathematicalla on täysin luontevaa.

Tehtävä 6

Laske ensin käsin. Mieti sitten, miten tehtävän voi näppärimmin ratkaista Mathematicalla.

Tehtävä 7 a, b

Toisen kertaluvun homogeeniyhtälöitä, joista yhden ratkaisun periaatteellinen muoto tiedetään. Kokeile siis tämänmuotoista yritettä. Hae toinen lineaarisesti riippumaton perusratkaisu yleisen ratkaisuohjeen mukaisella yritteellä. Alkuehdot origossa: Täyttävätkö yhtälöt yksikäsitteisyys- ja olemassaololauseen oletukset? Mitä voi tapahtua, jos alkuehto annetaan origossa?

Tehtävä 11

Standardimenettely.

Tehtävä 14 a, c

Vakiokertoiminen yhtälö, jonka oikeanpuolen funktio on jotakin perustyyppiä. Satndardimenettelyn mukaiset yritteet.

Tehtävä 22 a, b, d

Vakiokertoimisia homogeeniyhtälöitä. Jälleen standardimenettely. Katso myös, millaisia ratkaisuja Mathematica antaa DSolve-komennolla.

Tehtävä 25

Eulerin yhtälö. Ratkaisut ovat esitettyä muotoa (jollakin arvolla p) vain, jos standardiyritteen x^r lukua r koskevan yhtälön (karakteristisen yhtälön) jotkin juuret yhtyvät. Millä ehdolla näin tapahtuu? Laskut voivat olla sen verran hankalia, että on syytä tarvittaessa käyttää Mathematicaa.

Tehtävä 27

Idealisoitu sovellustehtävä, jossa ei välitetä ilmanvastuksesta eikä kaikista muistakaan reaalimaailman asettamista rajoituksista, ts. kyseessä on tyypillinen matemaattinen malli. Tietty idealisointi on ominaista kaikille matemaattisille malleille. Käyttökelpoisessa mallissa ei kuitenkaan saa idealisoida liiaksi ja mallin rakentajan täytyy ymmärtää, milloin mallin pätevyys loppuu.