![[Graphics:Images/prvdyh_gr_1.gif]](Images/prvdyh_gr_1.gif)
| prvdyh.nb |
Olkoon annettuna käyräparvi
missä C[1], C[2] ja C[3] ovat parven parametrit. Jokaisella (ainakin lähes) näiden arvokombinaatiolla parvesta saatava yhtälö esittää tason ympyrää. Toisaalta tason jokaisen ympyrän yhtälö on tätä muotoa.
Tulkitaan ![[Graphics:Images/prvdyh_gr_3.gif]](Images/prvdyh_gr_3.gif)
funktioksi muuttujasta ![[Graphics:Images/prvdyh_gr_4.gif]](Images/prvdyh_gr_4.gif)
tavoitteena löytää differentiaaliyhtälö tälle funktiolle:
![[Graphics:Images/prvdyh_gr_2.gif]](Images/prvdyh_gr_2.gif)
![[Graphics:Images/prvdyh_gr_5.gif]](Images/prvdyh_gr_5.gif)
Derivoidaan tämä yhtälö kolmesti, minkä jälkeen saaduista neljästä yhtälöstä eliminoidaan parametrit C[1], C[2] ja C[3]:
![[Graphics:Images/prvdyh_gr_6.gif]](Images/prvdyh_gr_6.gif)
![[Graphics:Images/prvdyh_gr_7.gif]](Images/prvdyh_gr_7.gif)
![[Graphics:Images/prvdyh_gr_8.gif]](Images/prvdyh_gr_8.gif)
![[Graphics:Images/prvdyh_gr_9.gif]](Images/prvdyh_gr_9.gif)
![[Graphics:Images/prvdyh_gr_10.gif]](Images/prvdyh_gr_10.gif)
![[Graphics:Images/prvdyh_gr_11.gif]](Images/prvdyh_gr_11.gif)
![[Graphics:Images/prvdyh_gr_12.gif]](Images/prvdyh_gr_12.gif)
![[Graphics:Images/prvdyh_gr_13.gif]](Images/prvdyh_gr_13.gif)
Tuloksena on kolmannen kertaluvun differentiaaliyhtälö, jonka yleisenä ratkaisuna on alkuperäinen käyräparvi. Kyseessä on siten kaikkien tason ympyröiden differentiaaliyhtälö.
Saadulla differentiaaliyhtälöllä on kuitenkin muitakin ratkaisuja:
![[Graphics:Images/prvdyh_gr_14.gif]](Images/prvdyh_gr_14.gif)
![[Graphics:Images/prvdyh_gr_15.gif]](Images/prvdyh_gr_15.gif)
![[Graphics:Images/prvdyh_gr_16.gif]](Images/prvdyh_gr_16.gif)