Usean yhtälön ryhmän ratkaiseminen yhteen yhtälöön palauttamalla

Olkoon tarkasteltavana kolmen differentiaaliyhtälön normaalimuotoinen ryhmä, jossa tuntemattomina funktioina ovat , ja :

Ryhmä pyritään ratkaisemaan eliminoimalla ensin yhtälöistä funktiot ja , jolloin saadaan yksinomaan funktiota koskeva differentiaaliyhtälö. Tätä varten kaksi ensimmäistä yhtälöä derivoidaan kerran ja viimeinen yhtälö kaksi kertaa, jolloin saadaan kaikkiaan seitsemän yhtälöä:

Kuudesta ensimmäisestä yhtälöstä voidaan ratkaista funktiot ja derivaattoineen ja tämän jälkeen sijoittaa lausekkeet perättäin viimeiseen yhtälöön:

Tuloksena on kolmannen kertaluvun yhtälö funktiolle . Tämä voidaan löytää myös hieman suorempaan käyttämällä Mathematican Eliminate-komentoa:

Yhtälön funktiomuotoiseksi ratkaisuksi saadaan

Yhtälöryhmän yleinen ratkaisu muodossa , , saadaan tätä ja aiempia lausekkeita käyttäen:

Tiettyä alkuehtoa vastaavat vakioiden arvot saadaan tämän jälkeen tavalliseen tapaan ratkaisemalla algebrallinen yhtälöryhmä. Olkoon alkuehtona , , . Tällöin

Vastaava yksittäisratkaisu saadaan sijoittamalla vakioiden arvot yleiseen ratkaisuun:

Ratkaisujen kuvaajat:

Edellä oleva esitys kuvaa, miten eliminointiprosessi ja yhtälöryhmän ratkaiseminen tapahtuu. Jos tavoitteena on ainoastaan saada tietyn alkuarvoprobleeman ratkaisu, päästään paljon vähemmällä kohdistamalla Mathematican DSolve-funktio suoraan alkuperäiseen yhtälöryhmään ja alkuehtoon:

Eri tavoilla saadut ratkaisut ovat todellakin samat: