varaht1.nb |
Jousen puristumista ja venymistä voidaan kuvata varsin yksinkertaisella matemaattisella mallilla. Kun jousi poikkeutetaan tasapainoasemastaan, se pyrkii palautumaan tasapainoasemaan jousivoiman vaikutuksesta. Tälle ns. harmoniselle voimalle pätee
missä x on jousen poikkeama tasapainoasemasta ja k jouselle tyypillinen jousivakio. Jos toisaalta huomioidaan voiman jousisysteemiin aiheuttama kiihtyvyys, saadaan Newtonin lain avulla
missä m on jouseen kiinnitetty massa. Näin on saatu jousen diffferentiaaliyhtälö.
Yhtälö pätee myös esimerkiksi katosta jousen varassa ripustetulle kappaleelle. Tulee kuitenkin huomata, että kyseinen malli pätee vain pienille poikkeamille x eikä se lainkaan mallinna poikittaista liikettä tai jousessa syntyvää kiertymää.
Otetaan tarkastelun kohteeksi oheisen kuvion mukainen systeemi, jossa kapale massaltaan on liitetty kattoon jousella, jonka jousivakio on
. Jousi voi liikkua vain pystysuorassa sunnassa.
Laskujen aluksi on syytä hävittää mahdollisista aiemmista laskuista jääneet muuttujat.
![[Graphics:Images/varaht1_gr_6.gif]](Images/varaht1_gr_6.gif)
Kappaleen pystysuora paikkakoordinaatti ilmoitetaan poikkeamana lepotilasta, ylöspäin positiivisena ja alaspäin negatiivisena. Systeemin liikeyhtälö on Newtonin lain mukainen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö:
![[Graphics:Images/varaht1_gr_8.gif]](Images/varaht1_gr_8.gif)
Systeemiä tarkastellaan siten, että kappale sysätään hetkellä liikkeelle lepotilasta antamalla sille alkunopeus.
![[Graphics:Images/varaht1_gr_11.gif]](Images/varaht1_gr_11.gif)
Saatu differentiaaliyhtälö ratkaistaan Mathematican DSolve-komennolla ja sievennetään.
![[Graphics:Images/varaht1_gr_13.gif]](Images/varaht1_gr_13.gif)
![[Graphics:Images/varaht1_gr_15.gif]](Images/varaht1_gr_15.gif)
Massa joutuu sinimuotoiseen värähtelyliikkeeseen. Piirretään kuvaaja sijoittamalla ensin arvot massalle ja jousivakiolle.
![[Graphics:Images/varaht1_gr_17.gif]](Images/varaht1_gr_17.gif)
![[Graphics:Images/varaht1_gr_19.gif]](Images/varaht1_gr_19.gif)
Tehdään animaatio värähtelylle. Seuraava koodi määrittelee kappaleeen liikkeen animoinnissa tarvittavat työkalut. Kyseessä on Mathematicalla kirjoitettu ohjelmakoodi.
![[Graphics:Images/varaht1_gr_22.gif]](Images/varaht1_gr_22.gif)
Itse animaatio on lista peräkkäisiä kuvia, joka on ensin laskettava (kestää jonkin aikaa) ja sitten ajettava. Ajaminen tapahtuu napsauttamalla kuvasarjaa oikeassa reunassa yhdistävä hakanen aktiiviseksi (mustaksi) ja painamalla ctrl-y.
![[Graphics:Images/varaht1_gr_23.gif]](Images/varaht1_gr_23.gif)
Tarkastele erisuuruisten massojen käyttäytymistä jousen varassa. Millä tavalla massan muuttaminen vaikuttaa syntyvään värähtelyyn? Entä jos muutetaan myös alkunopeutta siten, että värähtelyn energia pysyy vakiona?