Airyn differentiaaliyhtälö

Airyn differentiaaliyhtälö on hyvin yksinkertainen toisen kertaluvun lineaarinen ja homogeeninen differentiaaliyhtälö, joka kuitenkaan ei ole ratkaistavissa tavallisten alkeisfunktioiden avulla:

airyyht =  y''[x]  -  x y[x]  ==  0

ylrtk =  DSolve[airyyht, y, x]

Mathematica tuntee kuitenkin laajemman kokoelman funktioita, ja näiden avulla voidaan lausua sekä differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu että sen derivaatta:

airy =  y /. First[ylrtk]

airy[x]

airyder =  airy'

airyder[x]

Kaksi lineaarisesti riippumatonta yksittäisratkaisua saadaan antamalla sopivat alkuehdot ja ratkaisemalla näistä vakiot:

vakiot1 =  
      Solve[{airy[0] == 1, airyder[0] == 0}, {C[1], 
          C[2]}]

vakiot2 =  
      Solve[{airy[0] == 0, airyder[0] == 1}, {C[1], 
          C[2]}]

Saadut lausekkeet sisältävät uuden erikoisfunktion, gammafunktion. Tälle käytetään yleensä symbolia Γ (kreikkalainen kirjain iso gamma).

Vakioita vastaavat yksittäisratkaisut ovat

rtk1 =  airy[x] /. First[vakiot1]

rtk2 =  airy[x] /. First[vakiot2]

Nämä voidaan — hieman Mathematican versiosta riippuen — saada myös suoraan DSolve-komennolla:

DSolve[{airyyht, y[0] == 1, y'[0] == 0}, y[x], 
      x]

DSolve[{airyyht, y[0] == 0, y'[0] == 1}, y[x], 
      x]

Näiden kuvaajista on nähtävissä eräitä toisen kertaluvun homogeeniyhtälölle luonteenomaisia piirteitä:

Plot[{rtk1, rtk2}, {x, -15, 2}]

Jos differentiaaliyhtälössä y''  +   k y  = 0 vakio k on positiivinen, kyseessä on vakiokertoiminen yhtälö, jonka ratkaisuna on y  =  
        (Subscript[C, 1]) sin((Sqrt[k]) x)  +  (Subscript[C, 2]) cos((Sqrt[k]) x), ts. sini-kosini-värähtely. Värähtelyn taajuus on sitä suurempi, mitä suurempi k on. Negatiivisilla muuttujan x arvoilla Airyn yhtälö on tämäntyyppinen: Yhtälö voidaan kirjoittaa muotoon y'' +  | x |  y  =  
        0, ja sen ratkaisuna näyttää olevan värähtely, jonka taajuus kasvaa, kun |x| kasvaa.

Vastaavalla tavalla Airyn yhtälö voidaan rinnastaa positiivisilla muuttujan arvoilla yhtälöön y''  -  k y  =  0, missä k on positiivinen. Tämän ratkaisut muodostuvat eksponenttifunktioista: \(TraditionalForm\`y\  = \ \(C\_\(\(1\)\(\ \)\)\) e\^\(\(\@k\) x\)\  + \ 
          C\_2\ e\^\(\(-\@\(\(k\)\(\ \)\)\) x\)\).

Kuvaajat näyttävät myös toisen kertaluvun homogeeniyhtälöiden ratkaisuille tyypillisen ominaisuuden: Jos kahdella lineaarisesti riippumattomalla ratkaisulla on nollakohtia, nämä vuorottelevat. Toisen ratkaisun kahden peräkkäisen nollakohdan välissä on täsmälleen yksi toisen ratkaisun nollakohta. Todistus perustuu Wronskin determinantin ominaisuuksiin.

SKK 27.04.2001