Käyräparven differentiaaliyhtälön etsiminen

Olkoon annettuna käyräparvi

kayraparvi =  (x  +  C[1])^2  +  (y  +  
                C[2])^2  ==  C[3]^2

missä C[1], C[2] ja C[3] ovat parven parametrit. Jokaisella (ainakin lähes) näiden arvokombinaatiolla parvesta saatava yhtälö esittää tason ympyrää. Toisaalta tason jokaisen ympyrän yhtälö on tätä muotoa.

Tulkitaan y funktioksi muuttujasta x tavoitteena löytää differentiaaliyhtälö tälle funktiolle:

parvi =  kayraparvi /. y -> y[x]

Derivoidaan tämä yhtälö kolmesti, minkä jälkeen saaduista neljästä yhtälöstä eliminoidaan parametrit C[1], C[2] ja C[3]:

parvi1 =  D[parvi, x]

parvi2 =  D[parvi, {x, 2}]

parvi3 =  D[parvi, {x, 3}]

diffyht =  
      Eliminate[{parvi, parvi1, parvi2, parvi3}, {C[1], C[2], 
          C[3]}]

Tuloksena on kolmannen kertaluvun differentiaaliyhtälö, jonka yleisenä ratkaisuna on alkuperäinen käyräparvi. Kyseessä on siten kaikkien tason ympyröiden differentiaaliyhtälö.

Saadulla differentiaaliyhtälöllä on kuitenkin muitakin ratkaisuja:

diffyht /. 
      y -> Function[x, D[1] x  +  D[2]]

SKK 27.04.2001