Yksinkertainen vaihtovirtapiiri

Tarkastellaan piiriä, jossa on kela kytkettynä virtalähteeseen. Olkoon piirissä L henryn induktanssi.

Piiriin syötetty jännite kokee kelan aiheuttaman induktiivisen vastuksen, joka on muotoa

(Subscript[E, L]) = L ((d I(t))/(d t)).

Mikäli piiriin syötetty jännite on sinimuotoista vaihtovirtaa E(t)=(Subscript[E, 0])sin(ωt), tulee sen olla samansuuruinen piirissä tapahtuvan jännitepudotuksen kanssa. ω on vaihtojännitteen kulmataajuus. Kirchhoffin lain mukaan voidaan piirille muodostaa yhtälö

L ((d I(t))/(d t))=(Subscript[E, 0])sin(ω t),

missä (Subscript[E, 0]) on piiriin syötetyn jännitteen maksimiamplitudi ja I(t) piirissä kulkeva virta.

Laskujen aluksi on syytä hävittää mahdollisista aiemmista laskuista jääneet muuttujat:

Remove["Global`*"]

Piirin virtaa kuvaava yhtälö

yhtalo =  
      L i'[t]  == E0 Sin[ω t]

Tarkastellaan tilannetta, jossa piiri on alussa vailla virtaa:

alkuehto = i[0] == 0

Ratkaistaan differentiaaliyhtälö piirissä kulkevan virran määrittämiseksi:

rtk =  DSolve[{yhtalo, alkuehto}, i[t], t]

Sijoitetaan lukuarvot ja lasketaan lauseke sekä piiriin syötetylle jännitteelle että tämän piirissä aiheuttamalle virralle:

jannite =  
      E0 Sin[ω t] /. {L -> 0.1, 
          E0 -> 230, ω -> 50.  2 Pi}

virta =  i[t] /. First[rtk] /. {L -> 0.1, 
          E0 -> 230, ω -> 50.  2 Pi}

Piirretään kuvaaja virralle (vihreä) ja piiriin syötetylle jännittelle (E(t)/10, sininen) ajan funktioina.

Plot[Evaluate[{virta, jannite/10}], {t, 0,  .1}, 
      PlotStyle -> {RGBColor[0, 1, 0], 
          RGBColor[0, 0, 1]}]

Piiriin syntyy jaksottainen virta. Käämi vastustaa piirissä virran muutosta, ja siten virran vaihe laahaa jännitevaihtelun perässä. Alkuehto määrää, minkä arvojen väliin virran värähtely asettuu.

Tehtäviä

Muuta tehtävän alkuehtoa siten, että piirissä kulkee virta tarkastelun alkuhetkellä. Miten tämä vaikuttaa piirissä kulkevaan jaksottaiseen virtaan?

Muokkaa virtapiirin differentiaaliyhtälöä siten, että ideaalin käämin sijaan piirissä on reaalinen käämi jolla on vastus R = 5 Ω. Induktiivisen vastuksen aiheuttaman jännitepudotuksen L ((d I(t))/(d t)) lisäksi piirissä on jännitepudotus R  I(t). Piirrä kuvaaja piirissä kulkevalle virralle ja syötetylle jännitteelle aikavälillä 0 – 0.1 s. Selitä havaitsemasi ilmiö.

JP & SKK 07.05.2001