Differentiaaliyhtälö

Differentiaaliyhtälöksi kutsutaan yhtälöä, jossa tuntemattomana on funktio ja joka sisältää tämän funktion derivaattoja. Yhtälön tulee olla voimassa kaikilla muuttujan arvoilla, jotka kuuluvat johonkin alueeseen, esimerkiksi koko reaaliakselille, jollekin sen avoimelle välille tms.

Jos tuntematon funktio on yhden muuttujan funktio, esimerkiksi y(x), puhutaan tavallisesta differentiaaliyhtälöstä.

Esimerkkejä tavallisista differentiaaliyhtälöistä ovat

	y' = cos x,		x ,
	y'' + 4y = 0,		x ,
	x2y'' - xy' - y = 0,		x > 0,
	y' = x3e-y,		missä on vaikeampi ilmaista aluetta, jossa ratkaisua haetaan.

Tarkastelun kohteena voi olla myös differentiaaliyhtälöryhmä, jolloin yhtälöitä ja tuntemattomia funktioita on yhtä monta. Esimerkkinä olkoon taivaanmekaniikkaan liittyvä yhtälöryhmä

missä tuntemattomat funktiot ovat x(t) ja y(t).

Jos tuntematon funktio on usean muuttujan funktio, esimerkiksi u(x, y, z), kyseessä on osittaisdifferentiaaliyhtälö. Yhtälössä esiintyvät derivaatat ovat tällöin funktion u osittaisderivaattoja muuttujien (esimerkkitapauksessa x, y, z) suhteen. Yhtälön tulee olla voimassa jossakin sopivassa alueessa, esimerkiksi kolmiulotteisen avaruuden pallossa {(x, y, z) | x² + y² + z² < 1}.

Tyypillinen esimerkki osittaisdifferentiaaliyhtälöstä on Laplacen differentiaaliyhtälö

u_xx + u_yy + u_zz = 0,

missä alaindeksit viittaavat toisen kertaluvun osittaisderivaattoihin. Tätä voidaan myös merkitä

u_xx (x, y, z) + u_yy(x, y, z) + u_zz(x, y, z) = 0     tai     + + = 0.

Osittaisdifferentiaaliyhtälöitä ei tässä enempää käsitellä.