Bakteerit ja tappajasolut
Insinööriosastojen valintakoetehtävä vuodelta 1993
Elatusaineessa bakteerit
lisääntyivät jakaantumalla kahtia aina yhden aikayksikön välein. Kokeen alussa
elatusaineeseen istutettiin yksi bakteeri, ja ensimmäinen jakaantuminen tapahtui
yhden aikayksikön kuluttua tästä. Välittömästi n:nnen jakaantumisen jälkeen
elatusaineeseen istutettiin 1024 bakteereja syövää tappajasolua. Tappajasolut, jotka olivat
syntyneet juuri ennen elatusaineeseen joutumista, lisääntyivät samalla tavoin ja
samanaikaisesti kuin bakteerit. Elatusaineessa kukin tappajasolu söi aina yhden
bakteerin juuri ennen jakautumistaan. Kuinka paljon bakteereja oli tappajasolujen
istuttamisen hetkellä? Oletamme vielä, että tappajasoluja ei vähentänyt mikään ja että
bakteereja vähensivät vain tappajasolut. Kysymme, saivatko tappajasolut hävitetyksi
bakteerikannan? Jos saivat, niin milloin, ja jos eivät saa, kuinka perustelet vastauksesi?
Ratkaisu
Bakteereja tappajasolujen istuttamisen hetkellä eli välittömästi bakteerien
n:nnen jakaantumisen jälkeen oli 2n kpl. Olkoon k = 0 hetki, jolloin bakteerien
n:s jakaantuminen tapahtuu ja olkoon xk bakteerien (vast. yk bakteerisolujen)
lukumäärä hetkellä k = 0, 1, 2, . . . (juuri syömisen ja jakaantumisen jälkeen). Siten
| x0 | = | 2n | | |
| y0 | = | 1024 = 210 | | |
| yk | = | 2ky0 = 2k+10. | | |
Bakteerien lukumäärälle yleisesti pätee
xk+1 = 2(xk - yk) = 2xk - 2k+1y0,
joten
| x0 | = | 2n | | |
| x1 | = | 2n+1 - 2y0 | | |
| x2 | = | 2n+2 - 22y0 - 22y0 = 2n+2 - 2 . 22y0 | | |
| x3 | = | 2n+3 - 2 . 23y0 = 2n+3 - 3 . 23y0 | | |
 | | | | |
ja edelleen yleisesti
xk = 2n+k - k . 2ky0 = (2n - ky0)2k.
Jos x0 < y0 (eli kun n < 10), kaikki bakteerit syödään hetkellä k = 1. Muutoin bakteerit
tulevat syödyksi loppuun kun xk = 0 eli kun
2n - ky0 = 0.
Tästä k = 
= 2n - 10.