Eräs Eulerin probleema

(Éléments d’algèbre, 1700-luku.)

Kaksi talonpoikaisnaista toi markkinoille yhteensä 100 munaa. Toisella oli enemmän kuin toisella, mutta molemmat saivat myydessään saman summan. Silloin ensimmäinen sanoi toiselle: ”Jos minulla olisi ollut sinun munasi, olisin saanut 15 kreuzeria”. Toinen vastasi: ”Ja jos sinun munasi olisivat olleet minulla, olisin niistä saanut 623 kreuzeria”. Montako munaa kullakin oli?

Ratkaisu

Nimetään talonpoikaisnaiset symboleilla A ja B. Merkitään A:n munien määrää x:llä ja niiden kappalehintaa a:lla. Vastaavasti B:n munien määrä on 100 - x ja niiden kappalehinta b.

Jos A ja B myyvät toistensa munat, niin voidaan kirjoittaa yhtälöt (100 - x)a = 15 ja x . b = 62 3, joista saadaan ratkaistua a ja b:

a = 15 -------- 100 - x ja b = 20 --- 3x.

Koska myyntitulot olivat yhtä suuret, niin voidaan kirjoittaa yhtälö

x . a = (100 - x) . b

eli

x .  15 -------- 100 - x = (100 - x) . 20 --- 3x,

joka sievenee muotoon

x2 + 160x - 8000 = 0,

jonka ei-negatiivinen ratkaisu on 40.

Piilota ratkaisu