Euroopan unionin trombikorvaukset

Kevään pitkän matematiikan ylioppilastehtävä vuodelta 1998

Euroopan unionin tarkastaja mallintaa satelliitikuvassa näkyvän, trombin tuhoaman metsän alueeksi, joka jää käyrien y = sin x ja y = sin 2x väliin, kun x (- [0, p]. Mikä on tuhoalueen tarkka pinta-ala mallin mukaan? Pituuden mittayksikkö on kilometri. Oletetaan, että trombin tuhoista maksetaan korvausta 11 500 mk/ha. Kuinka paljon metsän omistaja saa korvausta?

Ratkaisu

Lasketaan ensin leikkauspisteet merkitsemällä lausekkeet y = sin x ja y = sin 2x yhtä suuriksi ja käyttämällä sopivia muunnoskaavoja:
PICT

sin 2x=sin x
2sin xcos x=sin x
2sin xcos x - sin x=0
sinx(2cos x - 1)=0
sin x = 0 \/ 2cos x - 1 = 0
x = np \/ x = p 3 + n2p \/ x = -p 3 + n2p,

joista tarkasteluvälille kuuluu arvo x = p -3.

Kokonaispinta-ala on laskettava kahdessa osassa:

A1 = integral p 30(sin 2x - sin x)dx
=1 2 integral p3 02sin 2xdx - integral p3 0sin xdx
=1 2/p 3 0(-cos 2x) - / p 3 0 - (cos x)
=-1 2cos 2p 3 + 1 2cos 0 + cos p 3 - cos 0
=14
A2 = integral pp 3(sin x - sin 2x)dx
=/p p 3(-cos x) - 12/p p 3(-cos 2x)
=-cos p + cos p 3 + 1 2cos 2p - 1 2cos 2p -3
=214

Näin ollen kokonaispinta-ala on A1 + A2 = 21 2 (km2) ja korvaukset

250 ha . 11500 mk/ha = 2875000 mk.

Piilota ratkaisu