Euroopan unionin trombikorvaukset
Kevään pitkän matematiikan ylioppilastehtävä vuodelta 1998
Euroopan unionin
tarkastaja mallintaa satelliitikuvassa näkyvän, trombin tuhoaman metsän alueeksi, joka
jää käyrien y = sin x ja y = sin 2x väliin, kun x [0, ]. Mikä on tuhoalueen tarkka
pinta-ala mallin mukaan? Pituuden mittayksikkö on kilometri. Oletetaan, että trombin
tuhoista maksetaan korvausta 11 500 mk/ha. Kuinka paljon metsän omistaja saa
korvausta?
Ratkaisu
Lasketaan ensin leikkauspisteet merkitsemällä lausekkeet y = sin x ja
y = sin 2x yhtä suuriksi ja käyttämällä sopivia muunnoskaavoja:
sin 2x | = | sin x |
2sin xcos x | = | sin x |
2sin xcos x - sin x | = | 0 |
sinx(2cos x - 1) | = | 0 |
sin x = 0 | | 2cos x - 1 = 0 |
x = n | | x = + n2 x = - + n2, |
joista tarkasteluvälille kuuluu arvo x = .
Kokonaispinta-ala on laskettava kahdessa osassa:
A1 | = | (sin 2x - sin x)dx |
| = | 2sin 2xdx - sin xdx |
| = | (-cos 2x) - - (cos x) |
| = | -cos + cos 0 + cos - cos 0 |
| = | |
A2 | = | (sin x - sin 2x)dx |
| = | (-cos x) - (-cos 2x) |
| = | -cos + cos + cos 2 - cos |
| = | 2 |
Näin ollen kokonaispinta-ala on A1 + A2 = 2 (km2) ja korvaukset
250 ha . 11500 mk/ha = 2875000 mk.