Ikkunan pinta-ala
Arkkitehtiosastojen valintakoetehtävä vuodelta 1991
Ikkuna muodostuu suorakaiteesta ja
sen yläpuolella olevasta puoliympyrästä, jonka halkaisija on sama kuin suorakaiteen
leveys. Mikä on ikkunan suurin mahdollinen pinta-ala, kun sen ympärysmitta on 6.0 m?
Anna vastaus yhden desimaalin tarkkuudella.
Ratkaisu
Olkoot suorakaiteen sivut a ja 2x, missä x on sen puoliympyrän säde, jonka
halkaisija muodostaa suorakaiteen sivun 2x. Jos p on annettu piiri, niin p = 2x + 2a + 
x.
Tällöin pinta-alalle
A(x) = 2xa + 
x2 = px - 
(4 + )x2
A'(x) = p - (4 + )x.
Ehdosta A'= 0 saadaan
x = 
.
Koska A':n merkki vaihtuu + 
- (tai koska A'' < 0), x on maksimikohta. Tällöin, kun p
= 4 m,
Amax = 
= 
1.1m2.