Kivikuulapyramidi

Arkkitehtiosastojen valintakoetehtävä vuodelta 1997

Kivikuulapyramidi muodostetaan neljästä kuulasta siten, että yksi kuula asetetaan kolmen maata koskettavan kuulan päälle. Lisäksi kaikki kuulat koskettavat toisiaan. Laske pyramidin (tarkka) korkeus, kun jokaisen kuulan halkaisija on 1 (pituusyksikköä)?

Ratkaisu

Kuulien keskipisteet A, B, C ja D muodostavat säännöllisen tetraedrin. Olkoot /_\ ACD tetraedrin pohjakolmio ja B tetraedrin huippu.
PIC
Tällöin tetraedrin korkeus h on sama kuin kolmiossa /_\ ABE sivulle AE piirretyn korkeusjanan pituus, missä E on tetraedrin särmän CD keskipiste. Koska |AB| = 1 ja |BE| = |AE| = V~ 3-/2, niin korkeudelle h pätee yhtälö

V~ 3- ---- 2 = V~ ------- 1 - h2 + V~ - V~ ---------- ( 3/2)2 - h2.

Tästä h = V~ -- 2/3, joten pyramidin korkeus on 1 + h = 1 - V~ ---- 2/3.

Piilota ratkaisu