Laatikoita varastoimaan 2

Insinööriosastojen valintakoetehtävä vuodelta 1995

R -säteisen puolipallon muotoisesta hallista erotetaan neljännes varastotilaksi kahdella pystysuoralla seinällä, jotka kohtaavat hallin keskellä suorassa kulmassa. Varastotilaan pinotaan kuution muotoisia laatikoita (särmän pituus a) siten, että laatikoiden sivut ovat varaston lattian tai pystyseinien suuntaiset. Pinoaminen aloitetaan hallin keskellä sijaitsevasta varaston nurkasta ja laatikoiden väliin ei jätetä tyhjää tilaa.

Olkoon R = 100a. Haluamme tietää, ainakin likimäärin, kuinka monta laatikkoa varastoon mahtuu. Osoita, että suurin mahdollinen laatikoiden lukumäärä ei voi olla yli 523 598 eikä alle 496 861 kappaletta. (Oikein perusteltu pienempi yläraja ja suurempi alaraja tietenkin hyväksytään.)

Ratkaisu

(Oletetaan a = 1.) Varasto on 1
8

-pallo, jonka säde on R = 100 ja tilavuus siis 1
8

R³ = 523598.7 . . . . Koska yhden kuution tilavuus on 1, niitä siis ei voi mahtua yli 523 598 kappaletta.

Ajatellaan varastoa rajoittavan pallonkuoren sisään toinen pallonkuori, jonka säde on yhden kuution lävistäjän verran pienempi kuin R, siis R₀ = 100 - V~ 3- . Jos varasto on mahdollisimman täynnä, ei sisemmän pallonkuoren sisällä ole ollenkaan tyhjää. Koska sisemmän pallonkuoren sisään jäävä tilavuus on ^. R = 496860.3 . . . , ei suurin mahdollinen kuutioiden lukumäärä voi olla alle 496 861.

Piilota ratkaisu