Lampun paikka

Räätälin työlampun pöytää pitkin mitattu etäisyys pöydällä olevasta napista on a. Kuinka korkealla lampun pitää olla, jotta se valaisisi nappia kirkkaimmin? Lamppu oletetaan pistemmäiseksi valolähteeksi.

Pistemmäinen valolähde, jonka valovoimakkuus on I, antaa etäisyydellä r olevalle pinnalle valaistuksen E

E = I-cosa-
  r2,

missä a on pöydän normaalin ja valonsäteen välinen kulma.


Ratkaisu

Lampun ja napin välinen etäisyys r voidaan lausua lampun korkeuden h ja lampun ja napin pöytää pitkin mitatun etäisyyden a avulla: r =  V~ --------
  a2 + h2. Vastaavasti saadaan cos a = h/r. Valaistuksen lauseke E saadaan siten muotoon

E(h) = -----Ih-----
( V~ a2-+-h2)3.

Funktion E derivaatta on

E'(h) =  I(a2- 2h2)
- V~ ---------
(  a2 + h2)5.

Derivaatan nollakohdat ovat h =  a
 V~ --
  2. Vain positiivinen nollakohta on tarkasteluvälillä h > 0. Tämän nollakohdan vasemmalla puolella funktio on kasvava ja oikealla puolella vähenevä. Funktio saa siis suurimman arvonsa kohdassa h =  a
 V~ --
  2.

Tarkastapa oman lukulamppusi paikka!

Piilota ratkaisu