Lopullinen voittaja

Kevään pitkän matematiikan ylioppilastehtävä vuodelta 1994

Erästä peliä pelaa kolme yhtä taitavaa pelaajaa A, B ja C. Kukin pelaaja saa voitosta pisteen, ja lopullinen voittaja on se pelaaja, joka ensiksi saa kolme pistettä. A voittaa ensimmäisen pelin, B toisen ja kolmannen. Mikä on todennäköisyys sille, että C on lopullinen voittaja?

Ratkaisu

Merkitään seuraavat tapahtumat

A = ”A voitaa pelin” A- = ”A häviää pelin”
B = ”B voitaa pelin” -- B = ”B häviää pelin”
C = ”C voitaa pelin” -- C = ”C häviää pelin”.

Tällöin voittotodennäköisyydet yhdessä pelissä ovat

P (A) = P (B) = P (C) = 1 -- 3.

Laaditaan lista mahdollisista pelikombinaatioista, joissa C tulee lopulliseksi voittajaksi, kun kolmen ensimmäisen ottelun tulos tiedetään:

1.A- B- C
2.- AB- C
3.- AB- C
4.- A- BCA- B- C- A-- BC-- A-- BC
5.ABCABCAB-C--A --B --C
6.- A- BC- A- BC- A-- BCA-- B-- C
7.- A- BC- A-- BC-- A-- BC

Yllä olevasta taulukosta voidaan määrittää kysytty todennäköisyys

P (henkilö C voittaa kolme peliä) = (1 -- 3)3 + 3 . (1 -- 3)4 = 2 --- 27 ~~ 0.074.

Piilota ratkaisu