Maljakon massa

Kevään pitkän matematiikan ylioppilastehtävä vuodelta 1994

Lasista valmistettu maljakko on muodoltaan pyörähdyskappale, joka syntyy suorien y = 4 ja y = -4, paraabelin x = 1 + y² sekä y-akselin rajoittaman alueen pyörähtäessä x-akselin ympäri. Maljakon pohjan halkaisija on 8.0 cm.

Kuinka paljon maljakko painaa, kun lasin tiheys on 3600 kg/m³?

Ratkaisu

Merkitään

maljakon tilavuus	=	V_m
lieriön tilavuus	=	V_l
paraboloidin tilavuus	=	V_p.

Maljakon tilavuus on V_m = V_l - V_p.

Tilavuustarkasteluja varten on laskettava maljakon korkeus, joka on tässä tapauksessa sama kuin käyrän x = 1 + y² ja käyrien y = 4 ja y = -4 leikkauspisteiden x-koordinaatti. Näinollen maljakon korkeus on 17 cm.
PICT
Käyrän yhtälöstä saadaan y² = x - 1, joten maljakon sisäosan muodostavan paraboloidin huippu on x-akselilla kohdassa x = 1.

Lieriön tilavuus on V_l = ^. 4² ^. 17 = 272.

Paraboloidin tilavuus on

V_p = integral 17

1 (x - 1)dx = /17

1 ( x2
---
2 - x) = 128.

Maljakon tilavuus on

V_m = 272 - 128 = 144cm³.

Lasin tiheys on 3600 kg/m³ = 3.6 g/cm³.

Maljakon massa on siis

m = 3.6 ^. 144 = 518 1628.6g 1.6kg.

Piilota ratkaisu