Matkapuhelinverkko

Matkapuhelinverkkoa tihennetään maaseudulla rakentamalla uusi lähetinmasto siten, että se on yhtä etäällä kolmesta aiemmin pystytetystä mastosta. Määritä uuden maston koordinaatit (x, y), kun aiempien mastojen koordinaatit ovat (x1, y1), (x2, y2) ja (x3, y3). Sovella saamiasi kaavoja tapaukseen, missä aiempien mastojen koordinaatit ovat (4906, 53113), (10007, 62921) ja (16741, 59357).

Ratkaisu

Paikkavektoreiden muodostamat yhtälöt sieventyvät muotoon

(x - x1)2 + (y - y1)2 = (x - x3)2 + (y - y3)2,
(x - x2)2 + (y - y2)2 = (x - x3)2 + (y - y3)2.

Nämä ovat itse asiassa ensimmäistä astetta tuntemattomien x ja y suhteen. Kyseesä on siis lineaarinen yhtälöryhmä, jonka ratkaiseminen on periaatteessa helppoa, mutta käytännössä työlästä. Laskentaohjelmat selviytyvät kuitenkin tämäntyyppisistä tehtävistä hyvin. Vastaukseksi saadaan

x = x21y3+x22y1 + x23y2 - x21y2 - x22y3- x23y1 + y1y22 + y2y23 + y3y21 - y1y23 - y2y21 - y3y22 ----------2(x-y--+-x-y--+-x-y----x-y----x-y----x-y-)-------------------- 1 3 2 1 3 2 1 2 2 3 3 1,

y = x1y2+x2y2 + x3y2 - x1y2 - x2y2 - x3y2 + x1x2 + x2x2 + x3x2 - x1x2 - x2x2- x3x2 31------2------2------3------1-------3------1------2------2------3------1- 2(x1y3 + x2y1 + x3y2 - x1y2 - x2y3 - x3y1),

missä termit on järjestetty johdonmukaiseen järjestykseen. Sijoittamalla annetut arvot saadaan x = 10801, y = 56278.

Piilota ratkaisu