Moottorisahan öljy

Kevään pitkän matematiikan ylioppilastehtävä vuodelta 1999

Moottorisahan öljyä myydään 1 litran ja 3 litran muovipulloissa. Pullot ovat samanmuotoiset, ja pullojen muovimäärä on suoraan verrannollinen niiden pinta-alaan.

Kuinka moninkertainen muovimäärä on 3 litran pullossa 1 litran pulloon verrattuna?

Kuinka monta prosenttia vähemmän 3 litran pullossa on käytetty muovia öljylitraa kohti kuin 1 litran pullossa?

Ratkaisu

Olkoon 3 litran pullon tilavuus V₃, pinta-ala A₃ ja muovimäärä m₃. Pienemmän 1 litran pullon vastaavat arvot ovat V₁, A₁ ja m₁.

Olkoon yhdenmuotoisten pullojen yhdenmuotoisuussuhde k. Tällöin

k³ = V3-
V1 = 3-
1 ,

josta saadaan

k = 3 V~ --
3 .

Pinta-alojen suhteen ja muovimäärien suhteen ollessa sama saadaan yhtälö

k² = A3
---
A1 = m3
---
m1 = ( V~ 3-
3 )² = V~ 3-
9 2.08.

Muovia öljylitraa kohti on 3 litran pullossa m33-

ja 1 litran pullossa m11-

Koska m₃ = 3 V~ 9- m₁, niin voidaan laskea kuinka monta prosenttia 3 litran pullossa on vähemmän muovia öljylitraa kohti kuin 1 litran pullossa:

m3-
100(m1-----3-)
m1 % = 3 V~ 9-
100(1----3-)m1-
m1 % 30.7 %.

Piilota ratkaisu