Myötä- ja vastatuulta

Syksyn pitkän matematiikan ylioppilastehtävä vuodelta 1996

Lentokone, jonka nopeus tyynessä on v km/h, lentää matkan A:sta B:hen ja takaisin. Matkan aikana puhaltaa tuuli, jonka suunta on A:sta B:hen ja nopeus c km/h. Tällöin matkaan kuluu 20 % enemmän aikaa kuin tyynessä säässä. Laske suhde c/v.

Ratkaisu

Merkitään matkaa AB= S ja lentoaikaa yhteen suuntaan ti.

Tyynessä säässä kuluu yhtä pitkä aika meno- ja paluumatkaan:

meno AB:v = S- t1
paluu BA:v = S- t1.

Näin ollen tyynessä säässä edestakaiseen matkaan kuluva aika on 2t1 = 2S --- v.

Tuulisessa säässä nopeudet meno- ja paluumatkalla ovat

meno AB:v + c = S- t 2
paluu BA:v - c = S -- t3.

Edestakaiseen matkaan kuluva aika on siis

t2 + t3 = --S-- v + c + --S-- v - c.

Annetusta ehdosta voidaan kirjoittaa yhtälö

t2 + t3 = 1.20 . 2S --- v
S - v+c+ S --- v- c = 1.20 . 2S --- v
v-c v2-c2+ v+c-- v2- c2 = 1.2 .  2 2 2(v----c-) (v2 - c2)v
2v = 2.4(v2 - c2) ------------ v
2v2 = 2.4v2 - 2.4c2
c2 -2- v = 0.4 --- 2.4,

joten c v = 1 V~ 6.

Piilota ratkaisu