Myynnin arvo

Syksyn pitkän matematiikan ylioppilastehtävä vuodelta 1994

Jos kauppias alentaa tuotteen hintaa p %, tuotetta myydään 1.6p % enemmän. Mikä p:n arvo antaa kauppiaalle suurimman myynnin arvon? Millä p:n arvolla myynnin arvo on sama kuin alkuperäisellä hinnalla?


Ratkaisu

Olkoon tuotteen alkuperäinen hinta a, ja alkuperäinen myynnin määrä m. Tällöin alennettu hinta on

a - -p--
100 = a(1 - --p-
100)

ja kasvanut myynnin määrä on

m + 1.6p
----
100m = m(1 + 1.6p
----
100).

Kuvataan myynnin arvon riippuvuutta annetun prosentin p avulla funktiolla

f(p) = a(1 -  p
----
100) . m(1 + 1.6p
----
100).

Funktion ääriarvoja voidaan etsiä välin alkupisteestä (p > 0) ja funktion derivaatan nollakohdista:

f'(p) = am(0.6-
100 - -3.2p-
10000) = 0, kun p = 18.75.

Koska p = 18.75 on kuvaajana olevan alaspäin aukeavan paraabelin huipun argumentti, niin alkuperäistä hintaa (p = 0) ja huipun suhteen symmetristä toista nollakohtaa 2p = 2 .   18.75 = 37.5 vastaavien myynnin arvojen täytyy olla samat ts. f(0) = f(37.5).

Piilota ratkaisu