Päiväkodin ikkunat

Rakenteilla olevaan päiväkotiin halutaan ikkunat, jotka muodostuvat suorakulmiosta ja sen yläpuolella olevasta puoliympyrästä. Ikkunan ympärysmitan pitää olla 5 metriä. Mitkä ovat ikkunan suorakulmion muotoisen osan mitat, kun valoisuuden maksimoimiseksi ikkunan pinta-ala halutaan mahdollisimman suureksi?
PICT

Ratkaisu

Merkitään muuttujalla x puoliympyrän sädettä ja muuttujalla y suorakulmion muotoisen osan korkeutta. Ikkunan pinta-alan lauseke on

2x . y + 1- 2px2.

Koska ikkunan ympärysmitta on 5 eli 2x + 2y + px = 5, saadaan muuttuja y lausuttua muuttujan x avulla

y = 5---(p-+-2)x- 2.

Kun y sijoitetaan pinta-alan lausekkeeseen, saadaan pinta-alan funktioksi

A(x) = -(1 -- 2p - 2)x2 + 5x.

Funktion kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, joten funktio saa suurimman arvonsa derivaatan

A'(x) = -(4 + p)x + 5

nollakohdassa. Pinta-ala on siis suurimmillaan, kun x = --5--- 4 + p. Suorakulmion muotoisen ikkunan pitää siis olla leveydeltään 2 . --5--- 4 + p ~~ 1.4 (m) ja korkeudeltaan --5--- 4 + p ~~ 0.7 (m).
PICT

Piilota ratkaisu