Palloja laatikkoon
Arkkitehtiosastojen valintakoetehtävä vuodelta 1999
125 R-säteistä palloa pakataan
säännöllisesti mahdollisimman pieneen kuution muotoiseen laatikkoon. Alla projektiokuva
pakkaustavasta.
Pallojen väliin, kuhunkin 8 pallon ympäröimään vapaaseen tilaan asetetaan 1
mahdollisimman suuri r-säteinen pallo. Kuinka monta r-säteistä palloa laatikko sisältää?
Määritä myös säde r.
Ratkaisu
Heti huomataan, että R-säteisiä palloja on 
= 5 kerroksessa ja että
r-säteisiä palloja asetetaan siten 4 tasoon, kuhunkin 4 × 4 = 16, eli yhteensä 64
kappaletta.
Kun sellainen kuutio, jossa on yksi r-säteinen pallo ja sitä ympäröivät 8 R-säteistä palloa,
leikataan diagonaalisesti pohjaa vastaan kohtisuoralla aputasolla, leikkauskuviosta
voidaan lukea ehto
R2 + (R
)2 = (R + r)2.
Tästä ratkaisemalla r = -R ± R
, joten vastaukseksi saadaan r = R(
- 1).
