Palloja laatikkoon

Arkkitehtiosastojen valintakoetehtävä vuodelta 1999

125 R-säteistä palloa pakataan säännöllisesti mahdollisimman pieneen kuution muotoiseen laatikkoon. Alla projektiokuva pakkaustavasta.
PIC
Pallojen väliin, kuhunkin 8 pallon ympäröimään vapaaseen tilaan asetetaan 1 mahdollisimman suuri r-säteinen pallo. Kuinka monta r-säteistä palloa laatikko sisältää? Määritä myös säde r.


Ratkaisu

Heti huomataan, että R-säteisiä palloja on  V~ ---
3125 = 5 kerroksessa ja että r-säteisiä palloja asetetaan siten 4 tasoon, kuhunkin 4 4 = 16, eli yhteensä 64 kappaletta.
PIC
Kun sellainen kuutio, jossa on yksi r-säteinen pallo ja sitä ympäröivät 8 R-säteistä palloa, leikataan diagonaalisesti pohjaa vastaan kohtisuoralla aputasolla, leikkauskuviosta voidaan lukea ehto

R2 + (R V~ --
  2)2 = (R + r)2.

Tästä ratkaisemalla r = -R R V~ --
  3, joten vastaukseksi saadaan r = R( V~ --
  3 - 1).

Piilota ratkaisu