Pallon lentorata
Kevään pitkän matematiikan ylioppilastehtävä vuodelta 1986
Pallo potkaistaan ilmaan
30o kulmassa ja se lentää 50 m:n päähän. Kuinka korkealla pallo käy, jos sen lentorata on
paraabeli, jonka akseli on pystysuora?
Ratkaisu
Asettamalla paraabeli aukeamaan alaspäin y-akselin suhteen symmetrisesti,
voidaan paraabelin yhtälö kirjoittaa muotoon
y = -ax2 + b,
missä vakio b on samalla paraabelin huipun y-kooordinaatti, ts. etsitty lentoradan
ylimmän kohdan korkeus.
Koska lähtökulma on 30o ja lähtökulman tangentti on kyseisen funktion derivaatan arvo
y'= -2ax kohdassa x = -25, niin voidaan kirjoittaa yhtälö
-2 . a . (-25) = tan 30o.
tan30o = , joten nyt voidaan ratkaista parametri a:
50a = |
a = . |
Koska pisteet (-25, 0) (ja myös (25, 0)) ovat paraabelin pisteitä, niin tämän perusteella
voidaan ratkaista kysytty b:
0 = - . (-25)2 + b |
b = = = 7.2(m). |