Pellistä ränniä

Insinööriosastojen valintakoetehtävä vuodelta 1992

Suorakaiteen muotoisesta pellistä taivutetaan ränni, jonka poikkileikkaus on puolisuunnikas.
PIC
Puolisuunnikkaassa kolme sivua ovat yhtä pitkät (pituus on s) ja erisuuntaisten sivujen välinen kulma on a. Miten kulmaa on valittava, jotta poikkileikkauksen pinta-ala (ja näin myös rännin tilavuus) tulisi mahdollisimman suureksi?

Ratkaisu

Merkitään h = ssin a ja x = scos a. Tällöin poikkileikkauksen ala on

f(a) = (s + x)h = s2(sin a + cos asin a),

missä 0 < a < p/2. Ehdosta f'(a) = 0 saadaan cos a = 1 2 tai -1. Näistä -1 ei kelpaa, koska 0 < a < p/2 ja cos a > 0. Yhtälö cos a = 1 2 antaa a = p/3 (= 60o). Esimerkiksi f':n merkkivaihtelun perusteella a = p/3 on paikallinen maksimikohta. Todetaan että se myös antaa funktion f suurimman arvon välillä 0 < a < p/2. Siten vastaus on a = p/3.

Piilota ratkaisu