Pikkujoulun lahjukset

Sinulla on rahapussissasi vain yksi kolikko, joka osoittautuu olevan arvoltaan 1 euro. Olet saanut tehtäväksesi ostaa koko rahalla (ts. ostosten yhteissumman on oltava 1 euro) 40 lahjaa pikkujouluihin. Kaupassa myydään kolmea erimallista tähän tarkoitukseen sopivaa pikkulahjaa, joiden hinnat vastaavasti ovat 1, 4 ja 12 senttiä. Jokaista mallia pitää ostaa ainakin yksi kappale. Onko tehtävän suorittaminen näillä ehdoilla mahdollista? Jos on, niin kuinka monta kappaletta kutakin lahjaa ostat?

Ratkaisu

Merkitään 1 sentin lahjojen lukumäärää x:llä, 4 sentin lahjojen lukumäärää y:llä ja 12 sentin lahjojen lukumäärää z:lla.

Tehtävässä annettujen ehtojen perusteella voidaan kirjoittaa yhtälöpari:

{
x + 4y + 12z = 100
x + y + z = 40

Tässä x, y, z

₊.

Eliminoimalla yhtälöparista x, tulee yhtälöksi

3y + 11z = 60,

josta voidaan ratkaista

y = 20 - 11
---
3 z.

Koska y:n ja z:n on oltava positiivisia kokonaislukuja, ja siten z:n kolmella jaollinen luku, niin mahdollisia z:n arvoja ovat 3, 6, 9, . . . . Näistä kelpaa vain z = 3, koska silloin y = 9 ja muilla z:n arvoilla y < 0. Täten x = 28 ja yhtälöparit toteuttavia lukukolmikoita ovat ko. ehdoilla vain nämä.

Piilota ratkaisu