Pullon piilotusta

Insinööriosastojen valintakoetehtävä vuodelta 1997

Jeppe Niilonpoika on löytänyt pullolleen hienon piilopaikan hyllyn suorakulmaisesta nurkasta kahden suuren sylinterinmuotoisen maalipurkin takaa. Kuinka suuri voi täysin näkymättömissä olevan pullon halkaisija d enintään olla, kun kummankin maalipurkin halkaisja on (tarkasti) 2 dm?

Ilmoita pullon halkaisijan tarkka arvo (desimetreissä) ja likiarvo millimetreissä yhden yksikön tarkkuudella.

Ratkaisu

Olkoon pullon säde r(= d/2). Pythagoraan lauseen avulla on todettavissa, että etäisyys pullon keskipisteestä nurkkaan on r V~ --
2

, ja etäisyys purkkien sivuamispisteestä - olkoon se piste C pisteeseen, jossa purkkien keskipisteiden kautta kulkeva suora kohtaa (jommankumman) seinän, on 1 + V~ --
2

. Koska viimeksi mainittu etäisyys on sama kuin etäisyys pisteestä C hyllynn nurkkaan, nähdään, että etäisyys pisteestä C pullon keskipisteeseen on 1 + V~ --
2

- r

Soveltamalla Pythagoraan lausetta suorakulmaiseen kolmioon, jonka kärjet ovat pullon ja toisen purkin keskipisteissä sekä pisteessä C saadaan yhtälö

1² + (1 + V~ --
2 - r V~ --
2 )² = (1 + r)²,

josta ratkaisemalla saadaan r = 3 + V~ --
2

(yhtälön toinen juuri antaisi sellaisen pullon säteen, joka sijoitettuna purkkien eteen sivuaisi niitä ja seiniä). Kysytty halkaisja on siis

d = 2r = 6 + 2 V~ 2 - 4 V~ -------
2 + V~ 2- (dm) 144 mm.

Piilota ratkaisu