Säätiön apurahat
Syksyn pitkän matematiikan ylioppilastehtävä vuodelta 1994
Säätiö, jonka pääoma
vuoden 1993 alussa oli 10 miljoonaa markkaa, jakaa joka vuoden lopussa apurahoina
puolet pääoman tuotosta, joka on 10 % vuodessa. Loput tuotosta lisätään pääomaan.
Minkä vuoden lopussa pääoma on kaksinkertaistunut, ja kuinka paljon apurahoja on
siihen mennessä jaettu?
Ratkaisu
Merkitään vuoden 1993 alussa olevaa pääomaa 107 mk = a.
Uudeksi pääomaksi lisätään edellisen vuoden pääomaan aina 5 % kyseisestä pääomasta (ts.
puolet 10 % tuotosta). Olkoon se aika, jona pääoma kaksinkertaistuu t. Tästä saadaan
yhtälö
1.05ta = 2a,
jonka ratkaisu on
t = lg 2/lg 1.05 
14.2,
josta t on 15 vuotta. Näinollen pääoma on kaksinkertaistunut vuoden 2007 lopussa.
Maksetut apurahat muodostavat geometrisen jonon, jonka summa on
S = 0.05 . 
. a 10.8 . 106mk.