Suomen väkiluvun kehitys

Suomen väkiluku on 1900-luvulla kehittynyt seuraavasti:

vuosi	1900	1910	1920	1930	1940	1950	1960	1970	1980
väestö/1000 henk.	2656	2943	3148	3463	3696	4030	4446	4705	4771

Sovita väkilukudataan mahdollisimman alhaista astetta oleva polynomi (jonka kuvaaja kulkee taulukon mukaisten pisteiden kautta) ja laske, millaisen ennusteen väkiluvulle tämä antaa vuosille 1990 ja 1995. Anna vastaus sadantuhannen asukkaan tarkkuudella.

Ratkaisu

Kun datapisteet (0,2656), (1,2943), (2,3148), (3,3463), (4,3696), (5,4030), (6,4446), (7,4705), (8,4771) kukin vuorollaan sijoitetaan kahdeksannen asteen polynomiin

y = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + a₄x⁴ + a₅x⁵ + a₆x⁶ + a₇x⁷ + a₈x⁸,

saadaan yhdeksän yhtälön ja yhdeksän tuntemattoman a₀, a₁,

, a₈ muodostama lineaarinen yhtälöryhmä.

Kun tämän ratkaisu sijoitetaan polynomiin, saadaan

y = 2656 + 1168342037 x - 2417029078607 x² + 29217446077 x³ - 49503736301 x⁴ + 1789003 x⁵
- 74383
2880 x⁶ + 17881-
10080 x⁷ - -671--
13440 x⁸.

Sijoittamalla tähän vuosia 1990 ja 1995 vastaavat muuttujan arvot x = 9 ja x = 9.5 saadaan halutut ennusteet: 3 500 000 vuonna 1990 ja 300 000 vuonna 1995. Polynomilla on nollakohta arvolla x = 9.5258, mikä vastaa vuoden 1995 huhtikuun alkua. Tällöin väkiluku mallin mukaan olisi siis = 0.

Ennusteet ovat selvästikin virheellisiä. Polynomi ei olekaan sopiva funktio väkiluvun ennustamiseen, koska se saattaa heilahdella täysin arvaamattomasti datapisteiden hiukankin muuttuessa. Jotakin ilmiötä kuvaavan funktion tulee käyttäytyä ilmiölle ominaisesti; vain tällöin on mielekästä määrittää jotkin parametrit (kuten kertoimet) havaitun datan perusteella.

Piilota ratkaisu