Suppilo

Arkkitehtiosastojen valintakoetehtävä vuodelta 1997

Suoran ympyräpohjaisen kartion muotoinen suppilo voidaan tehdä paperista siten, että ympyränmuotoisesta paperinpalasta leikataan pois

-kulmainen sektori ja reunat teipataan yhteen.

Millä kulman

arvolla suppilon tilavuus tulee mahdollisimman suureksi? Ilmoita kulman tarkka arvo radiaaneissa ja likiarvo asteissa yhden yksikön tarkkuudella.

Ratkaisu

Olkoot r, h ja R muodostettavan kartionmuotoisen suppilon (lyhyesti kartion) pohjaympyrän säde, korkeus ja reunaviivan pituus. Nyt R on myös sen ympyrän säde, jonka kokoisesta paperinpalasta kartion vaippaa aletaan muodostaa.

Ilmeisesti r² + h² = R². Tällöin maksimoitava tilavuus on

V (h) = 1-
3 r²h = 1-
3 (R² - h²)h, h [0, R].

Nyt V '(h) = 1
3

(R² - 3h²) = 0, kun h = R/ V~ --
3

[0, R], ja koska V (0) = 0 = V (R) ja V (R/ V~
3

) > 0, niin V (h) saavuttaa maksimin, kun h = R/ V~ --
3

.
Koska kartion pohjaympyrän kehän pituudelle on

2r = 2 V~ R2---h2- = 2R V~ 2/3- = (2 - )R

poisleikattavan sektorin kulmaksi tulee

= 2

(1 -

) rad eli 66^o.

Piilota ratkaisu