Optimointia suunnistukseen

Suunnistaja saapuu eteläsuunnasta itä-länsi-suuntaiselle suoralle metsätielle. Rasti sijaitsee tien pohjoispuolella suoraan koillisessa. Rastin ja metsätien kohtisuora etäisyys on 1 km. Kuinka pitkä matka suunnistajan tulisi edetä metsätietä pitkin, jotta hän saapuisi rastille mahdollisimman lyhyessä ajassa? Suunnistajan etenemisnopeus metsätiellä on 10 km/h ja maastossa 6 km/h.


Ratkaisu

PICT
Muodostetaan funktio ajalle, joka suunnistajalta kuluu rastille pääsemiseksi.

t(x) = 1---x-
  10 +  V~ -----2
-1-+-x--
   6.

On siis etsittävä tälle funktiolle suurin arvo suljetulla välillä 0 < x < 1. Funktio on tällä välillä derivoituva, joten riittää tarkastella funktion saamia arvoja välin päätepisteissä sekä nollakohdissa.

Välin päätepisteet:

t(0) =  4
---
15 ja t(1) =  1
- V~ --
3  2.

Funktion t derivaatta on

t'(x) = --1-
10 + - V~ -x-----
6  1 + x2.

Derivaatan nollakohdat ovat x = 3
4. Positiivinen nollakohdista on välillä [0, 1]. Funktion arvo tässä kohdassa on

t(3
--
4) =  7
---
30.

Vertaamalla funktion saamia arvoja välin päätepisteissä ja derivaatan nollakohdassa havaitaan, että lyhin aika rastille pääsemiseksi kuluu, kun suunnistaja etenee metsätietä neljänneskilometrin.

Piilota ratkaisu