Suunnistaja saapuu eteläsuunnasta itä-länsi-suuntaiselle suoralle metsätielle. Rasti sijaitsee tien pohjoispuolella suoraan koillisessa. Rastin ja metsätien kohtisuora etäisyys on 1 km. Kuinka pitkä matka suunnistajan tulisi edetä metsätietä pitkin, jotta hän saapuisi rastille mahdollisimman lyhyessä ajassa? Suunnistajan etenemisnopeus metsätiellä on 10 km/h ja maastossa 6 km/h.
t(x) = + .
On siis etsittävä tälle funktiolle suurin arvo suljetulla välillä 0 < x < 1. Funktio on tällä välillä derivoituva, joten riittää tarkastella funktion saamia arvoja välin päätepisteissä sekä nollakohdissa.Välin päätepisteet:
t(0) = ja t(1) = .
Funktion t derivaatta on
t'(x) = - + .
Derivaatan nollakohdat ovat x = ±. Positiivinen nollakohdista on välillä [0, 1]. Funktion arvo tässä kohdassa ont() = .
Vertaamalla funktion saamia arvoja välin päätepisteissä ja derivaatan nollakohdassa havaitaan, että lyhin aika rastille pääsemiseksi kuluu, kun suunnistaja etenee metsätietä neljänneskilometrin.
Piilota ratkaisu |