Taitava kulkija

Maagisia kykyjä omaavalla kulkijalla on taito kulkea maapallon pinnalla suoraan ilman apuvälineitä. Hän ottaa Helsingissä kompassisuunnan itään ja kulkee tämän jälkeen kykynsä varassa viivasuoraan. Eräänä päivänä hän saa uudelleen kompassin käsiinsä ja toteaa olevansa menossa kaakkoon. Missä hän on?

Helsingin sijainti on 60o pohjoista leveyttä ja 25o itäistä pituutta.


Ratkaisu

Jos paikkakunnan leveysaste on h ja pituusaste f, paikkavektori on

r = cos hcos f i + cos hsin f j + sin h k.

Tässä on merkitty maapallon säteeksi lyhyesti 1, jolloin |r| = 1. Paikkakunnalla itään osoittava vektori saadaan ristitulona: k r; tämä on luontevaa jakaa omalla pituudellaan, jolloin saadaan idänsuunnan yksikkövektori e. Sijoittamalla näihin Helsingin koordinaatit saadat vektorit Helsingin kohdalla: rH ja eH. (Huomaa, että laskentaohjelmissa trigonometristen funktioiden argumenttien tulee olla radiaaneissa.) Isoympyrän tason normaalivektori on n = rH eH.

Koska isoympyrän taso kulkee origon kautta, tulee kohdepaikkakunnan paikkavektorin r sijaita tässä tasossa: n . r = 0. Idänsuunnan yksikkövektorin e ja tason normaalivektorin välisen kulman tulee olla 45 astetta, jolloin n . e = 1/ V~ --
  2.

Saadusta yhtälöparista voidaan kohdepaikkakunnan leveys h ja pituus f ratkaista trigonometrian kaavojenkin avulla, mutta helpompaa lienee käyttää Newtonin iteraation tyyppistä yhtälöparin numeerista ratkaisemista, joka laskentaohjelmista löytyy yleensä valmiina.

Tulokseksi saadaan h = 45o, f  ~~ 79.7o tai h = -45o, f  ~~ 150.3o.

Piilota ratkaisu