Tangon kuljetus
Insinööriosastojen valintakoetehtävä vuodelta 1990
Käytävässä on suora kulma. Kulman
toisella puolella käytävän leveys on 1.35 m ja toisella puolella 3.20 m. Kulman molemmin
puolin käytävän osat ovat tasaleveät ja suorat. Käytävän korkeus on 2.50 m. Määritä
sellaisen ohuen, suoran tangon enimmäispituus, joka voidaan kuljettaa kulman ohi.
Ilmoita vastaus 1 cm:n tarkkuudella.
Ratkaisu
Projektion pituuden funktioksi saadaan
l(
) =
+
, missä 0 <
<
.
Funktion derivaatta on
l'(
) = -
+
.
Derivaatan nollakohdassa pätee yhtälö
=
eli tan
=
.
Kulma
0 = arctan
kuuluu välille 0 <
<
. Funktio on vähenevä välillä
]
,
0[ ja kasvava välillä ]
0,
[, joten funktio saa minimiarvonsa, kun
=
0.
Funktion l minimiarvo on tällöin 625. Kysytty tangon pituus saadaan projektion
korkeudesta (h = 250) Pythagoraan lauseen avulla: tangon pituus =
673
(cm).
Laskentaohjelmaa käytettäessä derivaatan ja sen nollakohtien lausekkeet saattavat olla
hyvinkin erilaisessa muodossa kuin yllä olevat, mutta oikea vastaus on luonnollisesti sama.