Tangon kuljetus

Insinööriosastojen valintakoetehtävä vuodelta 1990

Käytävässä on suora kulma. Kulman toisella puolella käytävän leveys on 1.35 m ja toisella puolella 3.20 m. Kulman molemmin puolin käytävän osat ovat tasaleveät ja suorat. Käytävän korkeus on 2.50 m. Määritä sellaisen ohuen, suoran tangon enimmäispituus, joka voidaan kuljettaa kulman ohi. Ilmoita vastaus 1 cm:n tarkkuudella.

Ratkaisu

Projektion pituuden funktioksi saadaan

l(f) = 135 ----- cos f + 320 ----- sin f, missä 0 < f < p -- 2.

Funktion derivaatta on

l'(f) = -135-sinf- cos2f + 320-cosf- sin2 f.

Derivaatan nollakohdassa pätee yhtälö

sin f ----- cosf = 4 -- 3 eli tan f = 4 -- 3.

Kulma f0 = arctan 4 3 kuuluu välille 0 < f < p 2. Funktio on vähenevä välillä ]p 2,  f0[ ja kasvava välillä ]f0,  p 2[, joten funktio saa minimiarvonsa, kun f = f0. Funktion l minimiarvo on tällöin 625. Kysytty tangon pituus saadaan projektion korkeudesta (h = 250) Pythagoraan lauseen avulla: tangon pituus = V~ ------- l2 + h2 ~~ 673 (cm).

Laskentaohjelmaa käytettäessä derivaatan ja sen nollakohtien lausekkeet saattavat olla hyvinkin erilaisessa muodossa kuin yllä olevat, mutta oikea vastaus on luonnollisesti sama.

Piilota ratkaisu