Teemu Teekkarin viikko

Arkkitehtiosastojen valintakoetehtävä vuodelta 1997

Teemu Teekkarin työviikko muodostuu viidestä työpäivästä (ma-pe). Jokaisena työpäivänä Teekkari on joko korkeakoululla tai käy vanhempiensa luona tai tapaa tyttöystävänsä neiti Trikoon. Kukin aktiviteetti vie aina koko työpäivän. Lisäksi jokaiseen työviikkoon sisältyy kaikki kolme aktiviteettia. Kuinka monella eri tavalla Teemu Teekkari voi täyttää työviikkonsa? (Huomaa, että esimerkiksi työviikko, jossa Teemu Teekkari on maanantaina vanhempiensa luona, tiistaina Trikoon luona ja lopun viikkoa korkeakoululla, on eri tavalla täytetty kuin työviikko, jossa Teemu Teekkari on maanantaina neiti Trikoon luona, tiistaina vanhempiensa luona ja lopun viikkoa korkeakoululla.) Ehtiikö hän opiskeluaikanaan käydä läpi kaikki erilaiset työviikot, kun hän laskee valmistuvansa 4.5 vuodessa (1 opiskeluvuosi = 40 työviikkoa) ?


Ratkaisu

Erilaisia työviikkoja voi ensinnäkin olla sellaisia, että niissä on 3 päivää yhtä aktiviteettia, 1 päivä toista aktiviteettia ja 1 päivä kolmatta aktiviteettia, ja toiseksi sellaisia, että niissä on 2 päivää yhtä aktiviteettia, 2 päivää toista aktiviteettia ja 1 päivä kolmatta aktiviteettia. Edellisessä tapauksessa on siis 3 ryhmää joista yhteen kuuluu 3 samanlaista aktiviteettia. Tässä ryhmät voidaan asettaa 5!/3! = 20 erilaiseen järjestykseen, ja koska 3 aktiviteetin ryhmään voidaan valita 3 erilaista aktiviteettia, erilaisia työviikkoja on 20 . 3 = 60 kappaletta. Jälkimmäisessä tapauksessa on myös 3 ryhmää, joista nyt kahteen kuuluu 2 samanlaista aktiviteettia. Tässä ryhmät voidaan asettaa 5!/(2!2!) = 30 erilaiseen järjestykseen, ja koska 3 erilaisesta aktiviteetista voidaan muodostaa 3 erilaista kahden aktiviteetin ryhmää, erilaisia työviikkoja on 30 . 3 = 90 kappaletta. Yhteensä erilaisia työviikkoja on 60 + 90 = 150 kappaletta. Koska 40 . 4.5 = 180 > 150, Teemu Teekkari ehtii käydä läpi kaikki erilaiset työviikot.

Piilota ratkaisu