Tien varren mainostaulu

Suoran tien varressa on kohtisuorassa tien suuntaa vastaan mainostaulu, jonka leveys on 10 metriä ja etäisyys tiestä 20 metriä. Määritä suurin (vaakasuoran tason) kulma, jossa tiellä liikkuja näkee taulun. (Tien leveyttä ei oteta huomioon.) Vastaus asteen tarkkuudella.


Ratkaisu

Kulma, jossa liikkuja näkee taulun, saadaan kahden kulman erotuksena.
PIC
Kummankin kulman tangentti on helposti laskettavissa, jolloin kulmat (radiaaneissa) saadaan tangentin käänteisfunktion arctan avulla. Katselukulma on tällöin

w(x) = arctan 30-
x - arctan 20-
 x,

missä muuttuja x on tiellä liikkujan etäisyys taulun kohdasta.

Derivaatta sievennettynä on

w'(x) =     10(600 - x2)
(400-+-x2)(900-+-x2)-

ja tämän nollakohdat x = 10 V~ --
  6. Vastaava funktion arvo on radiaaneina 0.201358 ja asteina 11.537. Vastaus asteen tarkkuudella on siis 12 astetta.

Kulman maksimiarvon sijasta voidaan etsiä kulman tangentin maksimiarvo. Koska tangentti on välillä ] - p/2, p/2 [ aidosti kasvava, nämä saadaan samalla muuttujan x arvolla. Jos kuvioon merkityt kulmat ovat a ja b, on

f(x) = tan w(x) = tan (a - b) = -tana----tan-b--
1 + tana  tan b = --10x----
x2 + 600.

Ehdosta f'(x) = 0 seuraa tällöin x = 10 V~ --
  6 kuten edelläkin.

Piilota ratkaisu