Tyttö- ja poikavauvat

Kevään pitkän matematiikan ylioppilastehtävä vuodelta 1999

Oletetaan, että eräässä kunnassa syntyy ensi vuonna 60 lasta. Lasten sukupuolet ovat toisistaan riippumattomia, ja pojan syntymistodennäköisyys on 0.513.

Mitä jakaumaa tyttöjen ja poikien lukumäärät noudattavat? Mikä on poikien ja mikä tyttöjen lukumäärän odotusarvo? Millä todennäköisyydellä syntyy täsmälleen yhtä monta tyttöä ja poikaa?

Ratkaisu

Kyseessä on binomijakaumaa noudattava tapahtuma, koska vaihtoehtoja on vain kaksi ja ne ovat keskenään riippumattomia.

Merkitään

Syntyvien lasten lukumäärä	=	n
P (lapsi on poika)	=	p
P (lapsi on tyttö)	=	1 - p = q.

Tällöin saadaan tehtävän asettelusta

n	=	60
p	=	0.513
q	=	0.487.

Todennäköisyys, että poikia syntyy täsmälleen määrä k (0 < k < 60), on

P (x = k) = ( n k) ^. p^k ^. q^n-k,

jossa satunnaismuuttuja x kuvaa poikalasten lukumäärää.

Poikien lukumäärän odotusarvo on np = 60 ^. 0.513 31 poikaa ja tyttöjen lukumäärän odotusarvo nq = 60 ^. 0.487 29 tyttöä.

Tyttöjä ja poikia syntyy yhtä monta, kun k = 30 eli

P (x = 30) = ( 60 30) ^. 0.523³⁰ ^. 0.487³⁰ 0.100518 0.10.

Piilota ratkaisu