Valmistajan voitto
Syksyn pitkän matematiikan ylioppilastehtävä vuodelta 1995
Valmistaja saa myydyksi
tuotettaan määrän
m =
,
kun yhden yksikön hinta on p mk. Tuotemäärän kaikki kustannukset ovat 800 + 2m
(mk). Millä p:n arvoilla valmistaja saa voittoa?
Ratkaisu
Myynnin arvo on m . p. Ehto voitolle on, että myynnin arvo on suurempi kuin
kustannukset eli
m . p > 800 + 2m.
Tästä voidaan kirjoittaa edelleen epäyhtälö ja sieventää sitä:
. p | > | 800 + 2 . |
400p | > | 800 + 800 |
400p - 800 | > | 800 |
160000p2 - 1280000p - 31360000 | > | 0 |
p2 - 8p - 196 | > | 0. |
Vastaavan 2.asteen yhtälön ratkaisut ovat p1
-10.56 ja p2
18.56. Merkkiparaabeli
aukeaa ylöspäin, joten epäyhtälön ehto toteutuu, kun p < p1 tai p > p2. Näistä
jälkimmäinen tuo mielekkään vastauksen.
Käytännössä alueelle, jolla tehtävässä annettu malli myynnin riippuvuudelle hinnasta
pätee, on oltava jokin äärellinen yläraja. Muuten yksikköhinnan kasvattaminen
äärettömän suureksi mahdollistaisi myös äärettömän suuren voiton.