Vesikouru

Arkkitehtiosastojen valintakoetehtävä vuodelta 1995

Pitkästä peltilevystä (leveys 4a) taivutetaan ylhäältä avoin vesikouru, jonka pystyseinien korkeus on a ja jonka pohja on v-kirjaimen muotoinen.
PIC
Määritä kourun pohjan avautumiskulma a siten, että kourun poikkileikkauksen pinta-ala on mahdollisimman suuri. Anna vastaus yhden asteen tarkkuudella.


Ratkaisu

Olkoon 2x (0 < x < a) kourun pystyseinien välinen etäisyys. Tällöin kourun poikkileikkaus voidaan jakaa suorakulmioon, jonka leveys on 2x ja korkeus a, ja tasakylkiseen kolmioon, jonka kanta on 2x ja korkeus  V~ a2---x2-. Poikkileikkauksen pinta-ala on

A(x) = 2ax + x V~ --------
  a2 - x2.

Tämä saavuttaa suurimman arvonsa derivaatan nollakohdissa tai x:n vaihteluvälin päätepisteissä. Koska

A'(x) = 2a +  V~ -2----2
 a  - x - x2/ V~ -2----2
 a  - x,

ainoa mahdollinen derivaatan nollakohta on x0 =  V~ V ~ ---
    3/2a. Laskemalla todetaan, että A(x) on suurempi kuin A(0) ja A(a), joten x0 tuottaa suurimman poikkileikkauksen pinta-alan. Koska sin (a/2) = x/a, arvoa x = x0, vastaava avautumiskulma on a  ~~ 137o.

Piilota ratkaisu