Vesikouru
Arkkitehtiosastojen valintakoetehtävä vuodelta 1995
Pitkästä peltilevystä (leveys 4a)
taivutetaan ylhäältä avoin vesikouru, jonka pystyseinien korkeus on a ja jonka pohja on
v-kirjaimen muotoinen.
Määritä kourun pohjan avautumiskulma 
siten, että kourun poikkileikkauksen
pinta-ala on mahdollisimman suuri. Anna vastaus yhden asteen tarkkuudella.
Ratkaisu
Olkoon 2x (0 < x < a) kourun pystyseinien välinen etäisyys. Tällöin kourun
poikkileikkaus voidaan jakaa suorakulmioon, jonka leveys on 2x ja korkeus a, ja
tasakylkiseen kolmioon, jonka kanta on 2x ja korkeus 
. Poikkileikkauksen
pinta-ala on
A(x) = 2ax + x
.
Tämä saavuttaa suurimman arvonsa derivaatan nollakohdissa tai x:n vaihteluvälin
päätepisteissä. Koska
A'(x) = 2a + 
- x2/
,
ainoa mahdollinen derivaatan nollakohta on x0 = 
a. Laskemalla todetaan, että
A(x) on suurempi kuin A(0) ja A(a), joten x0 tuottaa suurimman poikkileikkauksen
pinta-alan. Koska sin (/2) = x/a, arvoa x = x0, vastaava avautumiskulma on 
137o.
