Vesisäiliö ja pumppu

Insinööriosastojen valintakoetehtävä vuodelta 1991

Pitkässä suorakulmaisessa säiliössä, jonka leveys on 3.0 m, on pituussuunnassa liikkuva pystysuora väliseinä. Se jakaa säiliön osiin A ja B. Vettä pumpataan osaan A nopeudella 4.0 m3/min (osa B pysyy tyhjänä). Samaan aikaan väliseinä liikkuu nopeudella 0.5 m/min siten, että osan B tilavuus pienenee. Tarkasteluhetkellä, jolloin osassa A on vettä 5.0 m3, vedenpinnan korkeus on 2.0 m. Millä nopeudella vedenpinnan korkeus muuttuu tarkasteluhetkellä? Anna vastaus yhden desimaalin tarkkuudella (yksikkö m/min.) Ilmoita myös, nouseeko vai laskeeko vedenpinta.

Ratkaisu

Merkitään:

V (t) = vesimäärä hetkellä t,
h(t) = veden korkeus hetkellä t ja
p(t) = osan A pituus hetkellä t.

Silloin V (t) = 3p(t)h(t).

Voidaan olettaa, että t = 0 on tarkasteluhetki. Silloin, koska V (0) = 5 ja h(0) = 2, on

p(0) = 5 3-.2 = 5 6-.

Siis

V (t)=5 + 4t
p(t)=5 6+ t- 2,

joten

h(t) = V (t) ----- 3p(t) = 10 + 8t ------- 5 + 3t.

Derivoimalla

h'(t) = ---10---- (5 + 3t)2.

h:n kasvunopeus hetkellä t = 0 on h'(0) = 1205 = 0.4. Pinta siis nousee nopeudella 0.4 m/min.

Piilota ratkaisu