Viikonloppuruuhka

Insinööriosastojen valintakoetehtävä vuodelta 1992

Perjantai-iltana saapuu pääkaupunkiseudulta H:n kaupunkiin läpikulkumatkalla olevia viikonlopunviettäjiä seuraavan jakauman mukaisesti

f(t) = { 8 + t/10 kun 0 < t < 120, 24 - t/30 kun 120 < t < 480.

Tässä t tarkoittaa aikaa minuutteina laskettuna kle 16.00:sta, ja f:n yksikkönä on autoa/minuutti. H:n kaupungissa on nopeusrajoituksia ja liikennevaloja, joiden johdosta kaupungin läpi voi läpäistä enintään 630 autoa tunnissa. Oletetaan, että autoilija saapuu ruuhkaan

Määritä kummassakin tapauksessa, kuinka kauan autoilijalta kuluu ruuhkassa ennen kuin hän pääsee ajamaan H:n läpi. (Muu kuin yllämainittu viikonloppuliikenne jätetään huomiotta.)

Ratkaisu

Ruuhka alkaa muodostua, kun raja 630 autoa/tunti eli 10.5 autoa /min ylittyy, ts. aika t (min), jolle

8 + t --- 10 = 10.5 eli t = 25,

on kulunut klo 16.00:sta. Tällöin kello on 16.25. Tämän jälkeen autoja kasautuu aina klo 18.00 (120 min klo 16.00:sta) asti nopeudella 8 + 1t0 - 10.5 eli t10- - 2.5 autoa/min. Klo 18.00 autoja on kertynyt määrä

integral 120 25(t 10- - 2.5)dt = 451.25.

Viimeksi tullut (eli klo 18.00) joutuu odottamaan ajan 45110.2.55- = 42.97 ~~ 43 min. Ruuhka on pahimmillaan juuri ennen kuin jono alkaa lyhentyä, ts. kun aika t (min), jolle

24 - t --- 30 = 10.5 eli t = 405,

on kulunut klo 16.00:sta. Tällöin kello on 22.45. Klo 18.00 (t = 120) jälkeen autoja on kertynyt lisää määrä

integral 405 120(24 - t --- 30 - 10.5)dt = 1353.75.

Jonossa on pahimmillaan 451.24 + 1353.75 = 1805 autoa. Viimeksi tullut (eli klo 22.45) joutuu odottamaan ajan 1805 10.5 = 171.9 ~~ 172 min (= 2 h 52 min).

Piilota ratkaisu