\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[finnish]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[a4paper,text={150mm,230mm}]{geometry}

\setlength{\parskip}{\medskipamount}
\setlength{\parindent}{0pt}
\setlength{\emergencystretch}{5mm}

\pagestyle{empty}
\thispagestyle{empty}

\begin{document}

\section*{Derivaatta tangentin kulmakertoimena}

Geometrisesti tulkittuna erotusosamäärä
\[
\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}
\]
on käyrälle $y = f(x)$ asetetun pisteiden $(x_0,f(x_0))$ ja $(x_0+h,f(x_0+h))$
kautta kulkevan sekantin kulmakerroin. Kun $h \rightarrow 0$, lähestyvät
pisteet toisiaan, ja sekantista tulee pisteeseen $(x_0,f(x_0))$ asetettu
tangentti. Derivaatta $f'(x_0)$ on siten tämän tangentin kulmakerroin, ja
tangentin yhtälö on
\[
y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)
\]
eli normaalimuodossa
\[
f'(x_0)x - y + f(x_0) - f'(x_0)x_0 = 0.
\]
Jälkimmäisestä muodosta on nähtävissä, että tangentin (ja siis käyrän)
normaalivektori pisteessä $x_0$ on $\vec{n} = f'(x_0) \vec{i} - \vec{j}$.

\end{document}
