\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[finnish]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[a4paper,text={150mm,230mm}]{geometry}

\setlength{\parskip}{\medskipamount}
\setlength{\parindent}{0pt}
\setlength{\emergencystretch}{5mm}

\pagestyle{empty}
\thispagestyle{empty}

\begin{document}

\textbf{Esimerkki 7.1.1.} On osoitettava, että paraabelille $y = ax^2$ $(a > 0)$
positiivisen y-akselin suunnasta tulevat valonsäteet heijastuvat paraabelista siten,
että ne kohtaavat y-akselilla paraabelin polttopisteessä.

Pisteeseen $(x_0,ax_0^2)$ asetettu paraabelin tangentti on
\[
y - ax_0^2 = 2ax_0(x - x_0),
\]
ja paraabelin normaalivektori $\mathbf{n} = 2ax_0 \mathbf{i} - \mathbf{j}$.
Saapuvan valonsäteen yksikkösuuntavektori on $\mathbf{s}_1 = -\mathbf{j}$. Merkitään
etsittävää polttopistettä $(0,d)$, jolloin lähtevän valonsäteen yksikkösuuntavektori
on
\[
\mathbf{s}_2 = \frac{(0 - x_0)\mathbf{i} + (d - ax_0^2)\mathbf{j}}{\sqrt{x_0^2 + (d-ax_0^2)^2}}.
\]
Heijastumislaki antaa tällöin ehdon
$-\mathbf{s}_1 \cdot \mathbf{n} = \mathbf{s}_2 \cdot \mathbf{n}$ eli
\[
-1 = \frac{-2ax_0^2 - (d - ax_0^2)}{\sqrt{x_0^2 + (d-ax_0^2)^2}},
\]
mistä saadaan neliöön korottamalla
\[
x_0^2 + (d - ax_0^2)^2 = (ax_0^2 + d)^2.
\]
Sieventäminen johtaa koordinaatin $x_0$ supistumiseen pois, ja saadaan
$1 = 4ad$, mistä seuraa
\[
d = \frac{1}{4a}.
\]
Kaikki valonsäteet siis kohtaavat samassa pisteessä riippumatta siitä, missä
paraabelin pisteessä ne heijastuvat. Kyseessä on paraabelin polttopiste.

\end{document}
