\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[finnish]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[a4paper,text={150mm,230mm}]{geometry}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[pdftex]{graphicx}

\setlength{\parskip}{\medskipamount}
\setlength{\parindent}{0pt}
\setlength{\emergencystretch}{5mm}

\pagestyle{empty}
\thispagestyle{empty}

\begin{document}

\section{Ääriarvotehtävä}

\subsection{Ongelman asettelu}

Kolmion $ABC$ sivulla $AB$ sijaitsee piste $P$
ja sivulla $AC$ piste $Q$. Jana $PQ$ jakaa kolmion kahteen yhtä suureen osaan.
On etsittävä janan $PQ$ pituuden suurin ja pienin arvo.

\begin{center}
\includegraphics[viewport=0 120 610 610,height=60mm]{kolmio.pdf}
\end{center}

Olkoon kärjessä $A$ sijaitseva kolmion kulma $\alpha$. Merkitään $b = |AB|$,
$c = |AC|$, $x = |AP|$, $y = |AQ|$. Koska kolmion $APQ$ ala on puolet kolmion
$ABC$ alasta, saadaan ehto
\[
\tfrac{1}{2} xy\sin\alpha = \tfrac{1}{2}\,\tfrac{1}{2} bc\sin\alpha,
\]
mistä seuraa
\[
y = \frac{bc}{2x}.
\]
Probleemassa voidaan ottaa muuttujaksi $x$, jolle ehdoista $0 < x \le b$ ja
$0 < y \le c$ saadaan rajoitukset
\[
\frac b2 \le x \le b.
\]
Tutkittavaksi funktioksi on yksinkertaisinta ottaa janan $PQ$ pituuden
neliö, joka kosinilauseen mukaan on
\[
s^2 = f(x) = x^2 + y^2 - 2xy\cos\alpha = x^2 + \frac{b^2c^2}{4x^2}
- bc \cos\alpha.
\]

\newpage

\subsection{Ongelman ratkaisu}

Funktio on tarkasteluvälillä jatkuva ja derivoituva, joten riittää tutkia
derivaatan nollakohdat ja välin päätepisteet. Derivaatan
\[
f'(x) = 2x - \frac{b^2c^2}{2x^3}
\]
ainoa positiivinen nollakohta on $x_0 = \sqrt{\frac{bc}2}$. Tätä ohitettaessa
derivaatan merkki muuttuu $- \rightarrow +$, joten kyseessä on suhteellinen
minimi.

Funktion arvot derivaatan nollakohdassa ja välin päätepisteissä ovat

\begin{align*}
f(x_0) &= bc - bc\cos\alpha,\\
f(\tfrac{b}{2}) &= \frac {b^2}{4} + c^2 - bc \cos\alpha,\\
f(b) &= b^2 + \frac{c^2}{4} - bc \cos\alpha.
\end{align*}
Näistä arvoista ensimmäinen on pienin, sillä
\begin{align*}
f(\tfrac b2) - f(x_0) &= \frac{b^2}{4} + c^2 - bc
        = \bigg(\frac{b}{2} - c\bigg)^2 \ge 0,\\
f(b) - f(x_0) &= b^2 + \frac{c^2}{4} - bc = \bigg(b - \frac{c}{2}\bigg)^2 \ge 0.
\end{align*}

Ei ole kuitenkaan selvää, että $x_0$ sijaitsee tarkasteluvälillä; tämä
riippuu sivujen pituuksien $b$ ja $c$ suhteesta. Ehdosta $\frac{b}{2} \le x_0
\le b$ seuraa nimittäin
\[
\frac{b}{2} \le c \le 2b.
\]
Jos tämä ehto on täytetty, antaa $x_0$ minimin ja maksimi saadaan
jommassakummassa päätepisteessä (riippuen sivujen pituuksien $b$ ja $c$
suhteesta). Jos ehto ei ole täytetty, ei derivaatalla ole lainkaan
nollakohtia tarkasteluvälillä ja toinen päätepiste antaa maksimin, toinen
minimin.

\end{document}
