\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[finnish]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[a4paper,text={150mm,230mm}]{geometry}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{hyperref}

\setlength{\parskip}{\medskipamount}
\setlength{\parindent}{0pt}
\setlength{\emergencystretch}{5mm}

\pagestyle{empty}
\thispagestyle{empty}

\begin{document}

\section{Aritmeettinen ja geometrinen keskiarvo}

\subsection{Määritelmät}\label{sec:1}

Olkoot $x_1,\dots,x_p$ positiivilukuja. Näiden \emph{aritmeettinen keskiarvo}
ja \emph{geometrinen keskiarvo} ovat
\begin{align}
M_a &= \tfrac{1}{p} \sum_{k=1}^p x_k, \label{arit}\\
M_g &= \sqrt[p]{\prod_{k=1}^p x_k}. \label{geom}
\end{align}

\subsection{Keskiarvojen suhde}\label{sec:2}

On osoitettava, että $M_a \ge M_g$ ja yhtäsuuruus esiintyy vain, kun kaikki
luvut ovat yhtä suuria.

Lähtökohdaksi otetaan funktio
\begin{equation}
f(x) = x - \ln x - 1, \quad x > 0.
\end{equation}
Tämän derivaatta
\begin{equation}
f'(x) = 1 - \frac{1}{x}
\end{equation}
on $= 0$ pisteessä $x = 1$ ja negatiivinen, kun $x < 1$, positiivinen, kun
$x > 1$. Piste $x = 1$ antaa siis funktion minimiarvon $f(1) = 0$, ts.
\begin{equation}
x - \ln x - 1 \ge 0 \quad \forall x \qquad \text{ja} \quad = 0,
\ \text{vain kun}\ x = 1.
\end{equation}

Kun saatua tulosta sovelletaan lukuihin $x_k/M_a$ ja lasketaan epäyhtälöt
puolittain yhteen, saadaan seuraavaa:
\begin{equation}
\begin{aligned}
\frac{x_k}{M_a} - \ln \frac{x_k}{M_a} - 1 \ge 0, &\quad k = 1,\dots,p \\
&\implies \frac 1{M_a} \sum_{k=1}^p x_k - \ln \frac{\prod_{k=1}^p x_k}{M_a^p} - p \ge 0.
\end{aligned}
\end{equation}
Lausumalla summa ja tulo keskiarvojen avulla (ks. määritelmiä \ref{arit} ja \ref{geom}
kappaleessa \ref{sec:1}) sekä jakamalla luvulla $p$ saadaan
\begin{equation}
- \ln \frac{M_g}{M_a} \ge 0,
\end{equation}
mistä seuraa $M_a \ge M_g$.\footnote{Logaritmifunktion ominaisuuksia on
käsitelty verkkoartikkelissa \url{http://matta.hut.fi/matta2/isom/pdf/logfkt.pdf}.}
Päättelyssä vallitsee yhtäsuuruus, jos alussa sovelletussa epäyhtälössä on
$x = 1$ eli $x_k = M_a$ kaikilla indekseillä $k$; tämä merkitsee lukujen $x_k$
yhtäsuuruutta.

\end{document}
