Simo K. Kivelä, 7.12.2004

Polynomien sieventäminen

Seuraava tehtävä on syksyn 2000 pitkän matematiikan ylioppilaskokeesta.

Osoita, että x y+y z+z x = -1/2, kun x+y+z=0 ja (x^2)+(y^2)+(z^2)=1.

Ratkaisu

Ratkaisu laskentaohjelmalla on hämmentävän yksinkertainen:

Simplify[x y+y z+z x,{x+y+z==0,x^2+y^2+z^2==1}]

Vaihtoehtoinen ratkaisu

Paremman kuvan ongelman luonteesta saa tekemällä ratkaisun vaiheittain, jolloin myös selviää yleinen periaate. (Simplify-käsky ei kuitenkaan käytä tämänkaltaisia menettelyjä, vaan huomattavsti pidemmälle kehitettyjä ja yleispätevämpiä.)

Määritellään kohdeyhtälö ja voimassaolevat ehdot:

kohde=x y+y z+z x==-1/2

ehto1=x+y+z==0

ehto2=x^2+y^2+z^2==1

Eliminoidaan yksi muuttujista jonkin ehtoyhtälön avulla:

sij1=Solve[ehto1,x]

{uusikohde,uusiehto2}={kohde,ehto2}/.First[sij1]//ExpandAll

Vastaavalla tavalla eliminoidaan tämän jälkeen toinenkin muuttujista:

sij2=Solve[uusiehto2,y]

uusikohde/.sij2//ExpandAll

Uusi kohdeyhtälö siis toteutuu, sijoitetaanpa siihen kumpi tahansa saaduista muuttujan y lausekkeista.

Harjoitustehtäviä

1) Voisiko edellä olevassa vaihtoehtoisessa ratkaisussa eliminoinnin tehdä lyhyemmin?

2) Sievennä lauseke (x^2)+(y^2)+(z^2), kun x+y+z=0 ja x y+y z+z x=-1/2.

3) Sievennä lauseke  x+y+z, kun x y+y z+z x = -1/2 ja (x^2)+(y^2)+(z^2)=1.

4) Sievennä lauseke (Subscript[x, 1]^2)+(Subscript[x, 2]^2)+...+(Subscript[x, n]^2), kun (Subscript[x, 1])+(Subscript[x, 2])=0, (Subscript[x, 2])+(Subscript[x, 3])=0, ..., (Subscript[x, n-1])+(Subscript[x, n])=0, (Subscript[x, n])+(Subscript[x, 1])=0. Tarkastele aluksi arvoja n=3 ja n=4. Yleistä tulos tämän jälkeen.