etcesim

Simo K. Kivelä / 14.09.2010

Sekalaisia esimerkkejä

Mathematicasta löytyy työkaluja moniin erilaisiin matematiikan ongelmiin. Seuraava on esimerkinluonteinen kokoelma, joka ei ole millään tavoin tyhjentävä.

Ei ole aivan helppoa saada kuvaa siitä, mitä kaikkea on tarjolla. Ainoa Mathematican itsensä tarjoama keino on Documentation Center tutoriaaleineen sekä komentojen ja funktioiden kuvauksineen. Sama materiaali on löydettävissä Wolfram Researchin verkkosivuilta. Lisäksi on olemassa melkoinen määrä Mathematicaa käsittelevää kirjallisuutta. Varsin kattava luettelo on Wolfram Researchin verkkosivuilla; muutama merkittävin on mainittu tämän kurssin kirjallisuusluettelossa.

In[1]:=

Differentiaaliyhtälöt

Differentiaaliyhtälöitä voidaan ratkaista komennolla DSolve. Se saa kolme argumenttia: yhtälö tai lista, jossa on yhtälö ja alku- tai reunaehdot; tuntematon funktio, muuttuja.

In[2]:=

Out[2]=

In[3]:=

Out[3]=

In[4]:=

Out[4]=

Edellä olevissa vastauksena on muuttujasta x riippuva lauseke. Vaihtoehtoisesti voidaan vastaukseksi saada funktio:

In[5]:=

Out[5]=

Tällöin ratkaisua voidaan käyttää kuten mitä tahansa funktiota:

In[6]:=

Out[6]=

In[7]:=

Out[7]=

In[8]:=

Out[8]=

Differentiaaliyhtälö, oikeastaan alkuarvoprobleema voidaan myös ratkaista numeerisesti. Tällöin on annettava väli, jolla ratkaisua etsitään.

In[9]:=

Out[9]=

In[10]:=

Out[10]=

Tällöinkin ratkaisua voiidaan etsiä funktiona:

In[11]:=

Out[11]=

In[12]:=

Out[12]=

In[13]:=

Out[13]=

In[14]:=

Out[14]=

Sarjat

Sarjakehitelmiä voidaan muodostaa funktiolla Series.

In[15]:=

Out[15]=

Jäännöstermi voidaan pudottaa pois komennolla Normal:

In[16]:=

Out[16]=

Funktio Evaluate aiheuttaa taulukon laskemisen ennen piirtämisen aloittamista. Sitä tarvitaan joissakin tilanteissa, joiden arvaaminen ennalta edellyttää Mathematican sisäisen logiikan ymmärtämistä.

Äärellisiä summia voidaan laskea, usein myös summata sarjoja:

In[17]:=

Out[17]=

In[18]:=

Out[18]=

In[19]:=

Out[19]=

Mathematican käyttäytyminen voi joskus olla yllättävää (vaikkakin loogista ja ymmärrettävää, jos asian taustan tuntee):

In[20]:=

Out[20]=

In[21]:=

Out[21]=

Lukuteoriaa

Suurin yhteinen tekijä (greatest common divisor) ja pienin yhteinen jaettava (least common multiple):

In[22]:=

Out[22]=

In[23]:=

Out[23]=

Kokonaisosamäärä ja jakojäännös:

In[24]:=

Out[24]=

In[25]:=

Out[25]=

Alkuluvut

Prime[n] antaa n:nnen alkuluvun:

In[26]:=

Out[26]=

PrimeQ[n] saa totuusarvon True tai False riippuen siitä, onko n alkuluku.

In[27]:=

Out[27]=

Alkulukukaksoset:

In[28]:=

Out[28]=

In[29]:=

Out[29]=

Eulerin φ-funktio

Eulerin φ-funktio EulerPhi on Listable, joten se voidaan kohdistaa suoraan listaan (tässä luvut 1 ... 20):

In[30]:=

Out[30]=

Seuraava näyttänee, mikä φ-funktio on:

In[31]:=

Out[31]=

Kuten yleensäkin, kannattaa tässäkin annetun komennon merkitys selvittää purkamalla se osiin ja katsomalla erikseen, mitä jokainen osa tekee. Tämä on erityisen tärkeää virhetilanteiden syntyessä! Jääköön edellä olevan purkaminen ja selvittäminen lukijalle.

Äärelliset kunnat

Jotkin Mathematican ominaisuudet on määritelty lisäpaketeissa, jotka on ensin ladattava. Esimerkkinä olkoon erään Galois'n kunnan kertotaulu.

In[32]:=

In[33]:=

Out[33]//TableForm=

Kexleruksen viiniongelma

Simon Kexlerus oli Suomen ensimmäinen matematiikan professori, joka työskenteli Turun akatemiassa sen perustamisesta lähtien vuosina 1640 – 1669. Seuraava probleema on häneltä peräisin:

Sinulla on viinejä, jotka maksavat 3, 5, 8 ja 10 markkaa pullolta. Ota yhteensä kymmenen täyttä pulloa ja tee niistä sekoitus, joka maksaa 6 markkaa pullolta. Montako pulloa kutakin viinilajia on otettava?

Ratkaisu voisi olla seuraavanlainen:

Pullojen määrät olkoot p=(a,b,c,d). Tällöin tulee seuraavien ehtojen olla voimassa:

In[34]:=

In[36]:=

Out[36]=

Ratkaisuja on siis 7. Edellä olevassa laskussa käytiin lävitse vaihtoehtoa ja valittiin niistä ne, jotka täyttivät tehtävän ehdot.

Diofantoksen yhtälöiden ratkaisemiseen on toinenkin tapa:

In[37]:=

Out[37]=

Animaatiot ja manipulaatiot

Laskennan tuloksia — symbolisia, numeerisia, graafisia — voidaan havainnollistaa animaatioilla tai manipulaatioilla. Edellisissä on yksi parametri, jonka arvon muuttuessa tulos muuttuu, jälkimmäisissä parametreja voi olla miten monta tahansa ja käyttäjä hallitsee niiden arvoja erilaisilla säätimillä. Molempia voidaan tarkastella Mathematican sisällä. Animaatiot voidaan tulostaa myös liikkuvaksi gif-kuvaksi ja liittää esimerkiksi www-sivuun. Manipulaatiot voidaan muuntaa Wolfram Researchin palvelimella nbp-muotoon, jolloin niiden tarkastelu on mahdollista ilmaiseksi saatavalla Mathematica Playerilla.

In[38]:=